Um projétil com velocidade constante de modulo 400 m / s atravessa diametralmente um globo de papelão de 10 cm de raio que gira em torno de um eixo vertical. Qual deve ser a menor frequência de rotação do globo para que o projétil possa atravessa-lo fazendo um único furo?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil que viaja a uma velocidade constante de 400 , m/s e atravessa exatamente pelo diâmetro de um globo de papelão com raio de 10 , cm. Esse globo está girando em torno de um eixo vertical. Queremos descobrir qual é a menor frequência de rotação do globo para que o projétil consiga passar fazendo apenas um único furo no globo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular, especificamente a relação entre frequência, período e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos. O raio do globo é de 10 , cm, que é igual a 0,10 , m.

Passo 3

O diâmetro do globo é o dobro do raio, então:
d = 2 times 0,10 , m = 0,20 , m

Passo 4

O tempo que o projétil leva para atravessar o diâmetro do globo é dado pela distância dividida pela velocidade:
t = dv = 0,20 , m400 , m/s = 0,0005 , s

Passo 5

Durante esse tempo, o globo está girando. Para que o projétil faça unicamente um furo, o ponto do globo por onde o projétil passa deve voltar à posição inicial após esse pequeno intervalo de tempo. Ou seja, o globo deve completar uma volta inteira ( 360^circ) nesse tempo ou ser múltiplo dela.

Passo 6

A frequência de rotação ( f) é o número de voltas completas por segundo. O período ( T) é o tempo para uma volta completa e está relacionado à frequência por:
f = 1T
Queremos que o período T seja igual ao tempo t que o projétil leva para atravessar o globo:
T = t = 0,0005 , s

Passo 7

Então, a frequência mínima necessária é:
f = 10,0005 , s = 2000 , Hz

Resposta

A menor frequência de rotação do globo deve ser de 2000 , Hz.

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