Uma distribuição de carga esférica não uniforme é dada por:
rho(r)=cl rho0(1-rR) & para r <= R 0 & para r>R
onde rho0=10,0 mu C / m^3 e R=0,250 m. Qual é o valor do campo elétrico produzido por esta distribuição de carga em r=0,125 m e em r=0,500 m ?

Passo 1

Beleza, o exercício é de eletrostática (Lei de Gauss) e pede o campo elétrico de uma esfera com densidade radial não uniforme
rho(r)= rho0l(1- rRr)&r<= R, 0& r>R,
onde e .
Precisamos usar a Lei de Gauss: , calcular a carga interna via integral de densidade e daí achar .

Passo 2

Lei de Gauss em forma simples, por simetria esférica:
E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r)=Qrm int(r)4pivarepsilon0,r^2
Aqui e em coordenadas esféricas .

Passo 3

Calcular Qrm int(r) =integral0^r rho0l(1-r'Rr),4pi r'^2,dr' =4pirho0l[integral0^r r'^2dr' - 1Rintegral0^r r'^3dr'r] para =4pirho0l[r^33-r^44Rr] :

Passo 4

Campo interno em Qrm int(0,125) =4pi(10times10^-6)l[tfrac1,953times10^-33 - tfrac2,441times10^-44cdot0,25r] approx5,11times10^-8, C (metade de E(0,125) =5,11times10^-84pi(8,854times10^-12)(0,125)^2 approx2,94times10^4,V/m ):
  1. , .

Passo 5

Para Qrm tot =4pirho0l[R^33-R^44Rr] =4pirho0R^3l(tfrac13-tfrac14r) =pirho0R^33 approx1,64times10^-7, C , trata como carga total E(0,500) =1,64times10^-74pi(8,854times10^-12)(0,5)^2 approx5,9times10^3,V/m .
1)
  1. Em :

Resposta

E(0,125 m) ≃ 2,94×10^4 V/m (radial para fora)
E(0,500 m) ≃ 5,9×10^3 V/m (radial para fora)

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