Um projetista de páginas na Internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
, com posição em cm e tempo em s. Determine:
a) (RA1) A classificação do movimento nas direções
e
:
b) (RA2) A posição no instante
;
c) (RA2) A velocidade média entre
e
;
d) (RA2) O vetor velocidade instantânea em
;
e) (RA2) O vetor aceleração instantânea em
.
a) (RA1) A classificação do movimento nas direções
b) (RA2) A posição no instante
c) (RA2) A velocidade média entre
d) (RA2) O vetor velocidade instantânea em
e) (RA2) O vetor aceleração instantânea em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Do enunciado temos a posição do ponto (em cm) em função do tempo (em s):
O enunciado pede:
a) classificar o movimento nas direções e
(tipo de movimento em cada direção);
b) a posição em ;
c) a velocidade média entre e
;
d) o vetor velocidade instantânea em ;
e) o vetor aceleração instantânea em .
a) classificar o movimento nas direções
b) a posição em
c) a velocidade média entre
d) o vetor velocidade instantânea em
e) o vetor aceleração instantânea em
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
- A posição é uma função vetorial
. Podemos tratar separadamente as componentes e . - Velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
Fisicamente,
dá a velocidade e a direção do movimento no instante
.
- Aceleração instantânea é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
- Velocidade média entre
e é
- Classificação por forma funcional:
- Se
é uma função afim (linear) em do tipo , então a componente é movimento uniforme (velocidade constante). - Se
é quadrática do tipo , então é movimento uniformemente acelerado (aceleração constante).
- Se
Passo 3
Aplicando aos dados: escrevo as componentes explicitamente (peguei estas expressões do enunciado):
- Para
: é uma função quadrática em (termo em não nulo), portanto a componente corresponde a um movimento uniformemente acelerado (aceleração constante). Vou calcular as derivadas em detalhe nos próximos passos. - Para
: é função linear em , da forma (aqui ), portanto a componente é movimento uniforme com velocidade constante.
Passo 4
Calcular as derivadas simbólicas (regra básica: derivada de
é
):
Ou seja,
Agora a aceleração (derivada da velocidade):
Logo
Interpretação: aceleração em
é constante igual a
; aceleração em
é nula.
Passo 5
Posição no instante
. Vou calcular cada componente passo a passo.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Portanto
Passo 6
Velocidade média entre
e
. Primeiro obtenho
:
portanto
.
Agora o incremento de posição:
Agora o incremento de posição:
Dividindo pelo intervalo de tempo
:
Passo 7
Velocidade instantânea em
. Usei a expressão geral
obtida no Passo 4. Substituindo
:
Observação física rápida: a componente
da velocidade aumentou com o tempo (porque há aceleração em
), enquanto a componente
é constante.
Passo 8
Aceleração instantânea em
. A aceleração é independente de
(constante), obtida no Passo 4:
Logo em
também vale
Resposta
a)
: movimento uniformemente acelerado (MUV) com
. \quad
: movimento retilíneo uniforme (MRU) com
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)