Um projetista de páginas na Internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição \vec{r}=\left(2,5 t^{2}+4,0\right) \hat{\imath}+(5,0 \mathrm{t}) \hat{\jmath}, com posição em cm e tempo em s. Determine:
a) (RA1) A classificação do movimento nas direções x e y :
b) (RA2) A posição no instante t=2,0 \mathrm{~s};
c) (RA2) A velocidade média entre t=0 \mathrm{~s} e t=2,0 \mathrm{~s};
d) (RA2) O vetor velocidade instantânea em t=2,0 \mathrm{~s};
e) (RA2) O vetor aceleração instantânea em t=2,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Do enunciado temos a posição do ponto (em cm) em função do tempo (em s):
\vec{r}(t)=\bigl(2{,}5\,t^{2}+4{,}0\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(5{,}0\,t\bigr)\,\hat{\jmath}.
O enunciado pede:
a) classificar o movimento nas direções x e y (tipo de movimento em cada direção);
b) a posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s};
c) a velocidade média entre t=0\\ \mathrm{s} e t=2{,}0\\ \mathrm{s};
d) o vetor velocidade instantânea em t=2{,}0\\ \mathrm{s};
e) o vetor aceleração instantânea em t=2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • A posição é uma função vetorial \vec{r}(t)=(x(t),y(t)). Podemos tratar separadamente as componentes x(t) e y(t).
  • Velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right).
Fisicamente, \vec{v}(t) dá a velocidade e a direção do movimento no instante t.
  • Aceleração instantânea é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
  • Velocidade média entre t_1 e t_2 é
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}.é
  • Classificação por forma funcional:
    • Se x(t) é uma função afim (linear) em t do tipo x(t)=v_x t + x_0, então a componente x é movimento uniforme (velocidade constante).
    • Se x(t) é quadrática do tipo x(t)=\tfrac{1}{2}a_x t^2 + v_{x0} t + x_0, então é movimento uniformemente acelerado (aceleração constante).

Passo 3

Aplicando aos dados: escrevo as componentes explicitamente (peguei estas expressões do enunciado):
x(t)=2{,}5\,t^{2}+4{,}0,\qquad y(t)=5{,}0\,t.
  • Para x(t): é uma função quadrática em t (termo em t^{2} não nulo), portanto a componente x corresponde a um movimento uniformemente acelerado (aceleração constante). Vou calcular as derivadas em detalhe nos próximos passos.
  • Para y(t): é função linear em t, da forma y(t)=v_{y}t+y_{0} (aqui y_{0}=0), portanto a componente y é movimento uniforme com velocidade constante.

Passo 4

Calcular as derivadas simbólicas (regra básica: derivada de t^{n} é n t^{n-1}):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(2{,}5\,t^{2}+4{,}0\bigr)=2{,}5\cdot 2\,t=5{,}0\,t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(5{,}0\,t\bigr)=5{,}0.
Ou seja,
\vec{v}(t)=\bigl(5{,}0\,t\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(5{,}0\bigr)\,\hat{\jmath}.
Agora a aceleração (derivada da velocidade):
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\bigl(5{,}0\,t\bigr)=5{,}0, \qquad \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\bigl(5{,}0\bigr)=0.
Logo
\vec{a}(t)=\bigl(5{,}0\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(0\bigr)\,\hat{\jmath}.
Interpretação: aceleração em x é constante igual a 5{,}0\\ \mathrm{cm/s^{2}}; aceleração em y é nula.

Passo 5

Posição no instante t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Vou calcular cada componente passo a passo.
Calcular x(2{,}0):
x(2{,}0)=2{,}5\cdot(2{,}0)^{2}+4{,}0=2{,}5\cdot 4{,}0+4{,}0=10{,}0+4{,}0=14{,}0\\ \mathrm{cm}.
Calcular y(2{,}0):
y(2{,}0)=5{,}0\cdot 2{,}0=10{,}0\\ \mathrm{cm}.
Portanto
\vec{r}(2{,}0)=(14{,}0)\,\hat{\imath}+(10{,}0)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Velocidade média entre t_{1}=0\\ \mathrm{s} e t_{2}=2{,}0\\ \mathrm{s}. Primeiro obtenho \vec{r}(0):
x(0)=2{,}5\cdot 0^{2}+4{,}0=4{,}0\\ \mathrm{cm},\qquad y(0)=5{,}0\cdot 0=0\\ \mathrm{cm},
portanto \vec{r}(0)=(4{,}0)\,\hat{\imath}+(0)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm}.
Agora o incremento de posição:
\Delta\vec{r}=\vec{r}(2{,}0)-\vec{r}(0)=(14{,}0-4{,}0)\,\hat{\imath}+(10{,}0-0)\,\hat{\jmath}=(10{,}0)\,\hat{\imath}+(10{,}0)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm}.
Dividindo pelo intervalo de tempo \Delta t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{(10{,}0)\,\hat{\imath}+(10{,}0)\,\hat{\jmath}}{2{,}0}=(5{,}0)\,\hat{\imath}+(5{,}0)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s}.é

Passo 7

Velocidade instantânea em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Usei a expressão geral \vec{v}(t)=\bigl(5{,}0\,t\bigr)\,\hat{\imath}+(5{,}0)\,\hat{\jmath} obtida no Passo 4. Substituindo t=2{,}0:
\vec{v}(2{,}0)=\bigl(5{,}0\cdot 2{,}0\bigr)\,\hat{\imath}+(5{,}0)\,\hat{\jmath}=(10{,}0)\,\hat{\imath}+(5{,}0)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s}.
Observação física rápida: a componente x da velocidade aumentou com o tempo (porque há aceleração em x), enquanto a componente y é constante.

Passo 8

Aceleração instantânea em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. A aceleração é independente de t (constante), obtida no Passo 4:
\vec{a}(t)=5{,}0\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s^{2}}.
Logo em t=2{,}0 também vale
\vec{a}(2{,}0)=5{,}0\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s^{2}}.

Resposta

a) x: movimento uniformemente acelerado (MUV) com a_x=5{,}0\\ \mathrm{cm/s^{2}}. \quad y: movimento retilíneo uniforme (MRU) com v_y=5{,}0\\ \mathrm{cm/s}.
b) \vec{r}(2{,}0)=(14{,}0)\,\hat{\imath}+(10{,}0)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm}.
c) \vec{v}_{\text{méd}}=\bigl(5{,}0\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(5{,}0\bigr)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s}.é
d) \vec{v}(2{,}0)=\bigl(10{,}0\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(5{,}0\bigr)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s}.
e) \vec{a}(2{,}0)=\bigl(5{,}0\bigr)\,\hat{\imath}+\bigl(0\bigr)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm/s^{2}}.

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