Algumas locadoras de automóveis possuem uma unidade de GPS instalada, que permite à empresa verificar onde você está a qualquer momento e, com isso, também saber sua velocidade. Um desses carros de locadora é dirigido por um funcionário no terreno da empresa e, durante o intervalo de tempo de 0 a 10 s , tem um vetor posição como função do tempo de:
\vec{r}=\left(24,4-12,3 t+2,43 t^{2}\right) \hat{\imath}+\left(74,4+1,80 t^{2}-0,130 t^{3}\right) \hat{\jmath}(m)
a) (RA2) Qual o vetor velocidade média do carro entre os instantes t=0 e t=5,00 \mathrm{~s} ?
b) (RA2) Qual o vetor velocidade instantânea em t=5,00 \mathrm{~s} ?
c) (RA2) Qual o vetor aceleração instantânea em t=5,00 \mathrm{~s} ?
d) (RA2) A qual a distância o carro se encontra da origem do sistema de referência no instante 5,00 \mathrm{~s} ?
e) (RA1) Como pode ser classificado o movimento do carro na direção x e y ?

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (peguei a expressão da posição exatamente como escrita no enunciado).
Informações fornecidas (função vetor posição, unidades em metros e tempo em segundos):
\vec{r}(t)=\bigl(24,4-12,3\,t+2,43\,t^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(74,4+1,80\,t^{2}-0,130\,t^{3}\bigr)\hat{\jmath}\\ (\text{m})
O enunciado pede:
(a) o vetor velocidade média entre t=0 e t=5{,}00\\ \text{s};
(b) o vetor velocidade instantânea em t=5{,}00\\ \text{s};
(c) o vetor aceleração instantânea em t=5{,}00\\ \text{s};
(d) a que distância o carro está da origem em t=5{,}00\\ \text{s};
(e) como classificar o movimento nas direções x e y.

Passo 2

Vou calcular a velocidade média. Conceito rápido e claro: velocidade média vetorial é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo. Em símbolos,
\vec{v}_{\text{médio}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}.é
Aqui t_1=0 e t_2=5{,}00.
Primeiro obtenho \vec{r}(0) substituindo t=0:
\vec{r}(0)=\bigl(24,4-12,3\cdot0+2,43\cdot0^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(74,4+1,80\cdot0^{2}-0,130\cdot0^{3}\bigr)\hat{\jmath}=(24,4)\hat{\imath}+(74,4)\hat{\jmath}.
Agora \vec{r}(5) substituindo t=5. Faço as componentes separadas e explico as contas:
  • Componente x:
x(5)=24,4-12,3\cdot5+2,43\cdot5^{2}=24,4-61,5+2,43\cdot25.
Calculo 2,43\cdot25=60,75. Então
x(5)=24,4-61,5+60,75=23,65\\ (\text{m}).
  • Componente y:
y(5)=74,4+1,80\cdot5^{2}-0,130\cdot5^{3}=74,4+1,80\cdot25-0,130\cdot125.
Calculo 1,80\cdot25=45 e 0,130\cdot125=16,25. Então
y(5)=74,4+45-16,25=103,15\\ (\text{m}).
Assim
\vec{r}(5)=23,65\hat{\imath}+103,15\hat{\jmath}.
A variação de posição é
\Delta \vec{r}=\vec{r}(5)-\vec{r}(0)=(23,65-24,4)\hat{\imath}+(103,15-74,4)\hat{\jmath}=(-0,75)\hat{\imath}+28,75\hat{\jmath}.
Dividindo por \Delta t=5{,}00\\ \text{s},
\vec{v}_{\text{médio}}=\frac{(-0,75)\hat{\imath}+28,75\hat{\jmath}}{5}=(-0,15)\hat{\imath}+5,75\hat{\jmath}\\ (\text{m/s}).é

Passo 3

Agora a velocidade instantânea. Conceito e operação: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Vou derivar componente a componente (regra: derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}; constantes somam normalmente).
Para x(t)=24,4-12,3\,t+2,43\,t^{2}:
v_x(t)=\frac{dx}{dt}=-12,3+2\cdot2,43\,t=-12,3+4,86\,t.
Para y(t)=74,4+1,80\,t^{2}-0,130\,t^{3}:
v_y(t)=\frac{dy}{dt}=2\cdot1,80\,t-3\cdot0,130\,t^{2}=3,60\,t-0,390\,t^{2}.
Agora avalio em t=5{,}00:
v_x(5)=-12,3+4,86\cdot5=-12,3+24,3=12,0\\ (\text{m/s}).
v_y(5)=3,60\cdot5-0,390\cdot5^{2}=18,0-0,390\cdot25=18,0-9,75=8,25\\ (\text{m/s}).
Portanto a velocidade instantânea em t=5{,}00\\ \text{s} é
\vec{v}(5)=12,0\hat{\imath}+8,25\hat{\jmath}\\ (\text{m/s}).

Passo 4

Agora a aceleração instantânea. Conceito: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (segunda derivada da posição),
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Derivo as expressões que obtivemos para v_x(t) e v_y(t).
Para v_x(t)=-12,3+4,86\,t:
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=4,86.
É constante — isso indica aceleração constante na direção x.
Para v_y(t)=3,60\,t-0,390\,t^{2}:
a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}=3,60-2\cdot0,390\,t=3,60-0,780\,t.
Avalio em t=5{,}00:
a_x(5)=4,86\\ (\text{m/s}^{2}),
a_y(5)=3,60-0,780\cdot5=3,60-3,90=-0,30\\ (\text{m/s}^{2}).
Portanto a aceleração instantânea em t=5{,}00\\ \text{s} é
\vec{a}(5)=4,86\hat{\imath}-0,30\hat{\jmath}\\ (\text{m/s}^{2}).

Passo 5

Distância do carro à origem em t=5{,}00. Conceito: a distância da origem é o módulo do vetor posição,
d(5)=\bigl\|\vec{r}(5)\bigr\|=\sqrt{x(5)^{2}+y(5)^{2}}.
Já temos x(5)=23,65 e y(5)=103,15. Faço as contas mostrando os passos:
x(5)^{2}=23,65^{2}=559,3225,
y(5)^{2}=103,15^{2}=10\,639,9225.
Somando,
x(5)^{2}+y(5)^{2}=559,3225+10\,639,9225=11\,199,245.
Tirando raiz quadrada,
d(5)=\sqrt{11\,199,245}\approx105,83\\ \text{m}.
(Arredondei para duas casas decimais; o procedimento foi calcular os quadrados, somar e extrair a raiz.)

Passo 6

Classificação do movimento nas direções x e y. Vou explicar o critério e aplicar.
Critério simples:
  • Se a aceleração numa direção é constante (valor fixo independente de t), o movimento nessa direção é uniformemente acelerado (aceleração constante).
  • Se a aceleração depende de t (não é constante), o movimento nessa direção não é uniformemente acelerado; a aceleração é variável.
Aplicando:
  • Direção x: encontramos a_x(t)=4,86, que é constante. Logo o movimento em x é um movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) — aceleração constante positiva 4,86\\ \text{m/s}^2.
  • Direção y: encontramos a_y(t)=3,60-0,780\,t, que depende de t. Logo o movimento em y tem aceleração variável (não é uniformemente acelerado); é um movimento com aceleração que varia linearmente no tempo.
Observação amigável: por ter componentes com aceleração diferente (uma constante, outra variável), a trajetória no plano é curva; mas a pergunta pedia especificamente a classificação por direção, então acima estão as respostas.

Resposta

(a) \vec{v}_{\text{médio}}=(-0,15)\hat{\imath}+5,75\hat{\jmath}\\ \text{m/s}é
(b) \vec{v}(5)=12,0\hat{\imath}+8,25\hat{\jmath}\\ \text{m/s}
(c) \vec{a}(5)=4,86\hat{\imath}-0,30\hat{\jmath}\\ \text{m/s}^{2}
(d) d(5)=105,83\\ \text{m}
(e) Direção x: movimento uniformemente acelerado (aceleração constante 4,86\\ \text{m/s}^{2}).
Direção y: movimento com aceleração variável ( a_y(t)=3,60-0,780\,t ).

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