Uma partícula desloca-se da origem de um sistema de coordenadas x y com velocidade inicial \vec{v}_{\mathrm{i}}=(20 \hat{\imath} 15 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. A partícula se desloca no plano x y com aceleração \vec{a}=(4,0 \hat{\iota}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) (RA1) a função para determinar a velocidade instantânea;
b) (RA2) a velocidade no instante t=5,0 \mathrm{~s};
c) (RA2) o módulo e a direção da velocidade em t=5,0 \mathrm{~s};
e) (RA1) Como pode ser classificado o movimento nas direções x y ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo nos valores que o enunciado deu):
  • Velocidade inicial da partícula: \vec{v}_{\mathrm{i}}=\bigl(20\hat{\imath}+15\hat{\jmath}\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração constante: \vec{a}=\bigl(4,0\hat{\imath}\bigr)\\ \mathrm{m/s^{2}}. (Isto é, a_x=4,0\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_y=0.)
  • A partícula parte da origem (posição inicial \vec{r}_0=(0,0), informação dada no enunciado).
  • O enunciado pede:
    • (a) a função que dá a velocidade instantânea \vec{v}(t);
    • (b) a velocidade no instante t=5,0\\ \mathrm{s};
    • (c) o módulo e a direção da velocidade em t=5,0\\ \mathrm{s};
    • (e) classificação do movimento nas direções x e y.

Passo 2

Conceito e fórmula: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Se a aceleração é constante, integremos essa equação para obter a velocidade. A integração dá
\vec{v}(t)=\vec{v}_{\mathrm{i}}+\vec{a}\,t,
onde:
  • \vec{v}(t) é a velocidade instantânea no tempo t;
  • \vec{v}_{\mathrm{i}} é a velocidade inicial (valor em t=0);
  • \vec{a} é a aceleração constante;
  • t é o tempo (em segundos).
Explicação de como aplicar componente a componente: vetores no plano são tratados por componentes. Assim
v_x(t)=v_{x\mathrm{i}}+a_x t,\qquad v_y(t)=v_{y\mathrm{i}}+a_y t.
Substituindo os valores iniciais dados: v_{x\mathrm{i}}=20\\ \mathrm{m/s}, v_{y\mathrm{i}}=15\\ \mathrm{m/s}, a_x=4,0\\ \mathrm{m/s^{2}}, a_y=0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas componentes:
Para a componente x:
v_x(t)=20 + 4,0\,t\quad(\mathrm{m/s}).
Para a componente y:
v_y(t)=15 + 0\cdot t = 15\quad(\mathrm{m/s}).
Portanto a velocidade vetorial instantânea é
\vec{v}(t)=\bigl(20+4,0\,t\bigr)\hat{\imath}+15\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Agora calcular a velocidade no instante t=5,0\\ \mathrm{s}. Substituindo t=5,0 nas componentes:
Componente x:
v_x(5,0)=20+4,0\cdot 5,0 = 20 + 20 = 40\quad(\mathrm{m/s}).
Componente y:
v_y(5,0)=15\quad(\mathrm{m/s}).
Logo,
\vec{v}(5,0)=40\hat{\imath}+15\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Cálculo do módulo da velocidade em t=5,0\\ \mathrm{s}.
Fórmula do módulo de um vetor no plano:
\lvert \vec{v}\rvert=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aplicando com v_x=40 e v_y=15:
\lvert \vec{v}(5,0)\rvert=\sqrt{40^{2}+15^{2}}=\sqrt{1600+225}=\sqrt{1825}.
Aproximando numericamente,
\sqrt{1825}\approx 42,73\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 6

Cálculo da direção (ângulo \theta) da velocidade em t=5,0\\ \mathrm{s}.
Definição prática: quando v_x>0 a direção em relação ao eixo +x pode ser obtida por
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right).
Substituindo v_y=15 e v_x=40:
\theta=\arctan\!\left(\frac{15}{40}\right)=\arctan(0,375).
Numérica e em graus:
\theta\approx 20,56^\circ.
Observação: como v_x>0 e v_y>0, o vetor está no primeiro quadrante e esse \theta é o ângulo medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário.

Passo 7

Classificação do movimento nas direções x e y:
  • Direção x: há aceleração constante a_x=4,0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Logo o movimento em x é um movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Neste caso vale, além de v_x(t)=v_{x\mathrm{i}}+a_x t, a equação da posição
    x(t)=x_0+v_{x\mathrm{i}}t+\tfrac{1}{2}a_x t^{2}.
  • Direção y: a aceleração é nula ( a_y=0), portanto o movimento em y é movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade constante v_y=15\\ \mathrm{m/s}. A posição em y é
    y(t)=y_0+v_{y\mathrm{i}}t.
Intuição rápida: as duas direções são independentes; em x há aumento contínuo da velocidade (aceleração positiva), em y a velocidade permanece constante.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=\bigl(20+4,0\,t\bigr)\hat{\imath}+15\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}
(b) \displaystyle \vec{v}(5,0)=40\hat{\imath}+15\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}
(c) \displaystyle \lvert \vec{v}(5,0)\rvert=\sqrt{1825}\approx 42,73\\ \mathrm{m/s}
\displaystyle \theta=\arctan\!\left(\dfrac{15}{40}\right)\approx 20,56^\circ
(e) Direção x: movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) com a_x=4,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Direção y: movimento retilíneo uniforme (MRU) com v_y=15\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados