O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente, varia gradualmente de 150 mm , no ponto A, 6 m acima de um referencial, para 75 mm , no ponto \mathrm{B}, 3 \mathrm{~m} acima do referencial. A pressão no ponto A vale 103 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2} e a velocidade média é 3,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desprezando as perdas de carga, determine a pressão no ponto B .
\boldsymbol{(} \mathbf{p}_{\mathbf{B}} \boldsymbol{=} \mathbf{3 5 , 2 ~ k N} \boldsymbol{/} \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{)}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a pressão no ponto B, isto é encontrar p_B.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado no enunciado):
d_A = 150\\ \text{mm},\quad z_A = 6\\ \text{m},
d_B = 75\\ \text{mm},\quad z_B = 3\\ \text{m},
p_A = 103\\ \text{kN/m}^2,\quad v_A = 3{,}6\\ \text{m/s},
e está indicado que as perdas de carga são desprezíveis (regime permanente, água). Vou assumir a densidade da água e a gravidade como valores usuais:
\rho = 1000\\ \text{kg/m}^3,\quad g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.

Passo 2

Converter unidades para o SI (m, Pa, etc.) para trabalhar consistentemente:
d_A = 150\\ \text{mm} = 0{,}15\\ \text{m},
d_B = 75\\ \text{mm} = 0{,}075\\ \text{m},
p_A = 103\\ \text{kN/m}^2 = 103000\\ \text{Pa}.
(As demais grandezas já estão em SI.)

Passo 3

Encontrar a velocidade média em B usando conservação de vazão (continuidade). Explicação do conceito: para um fluido incompressível em regime permanente a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção, logo a área da seção vezes a velocidade média é constante. Fórmula da área de uma seção circular:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Condição de continuidade entre A e B:
A_A v_A = A_B v_B \quad\Longrightarrow\quad v_B = v_A\frac{A_A}{A_B} = v_A\left(\frac{d_A}{d_B}\right)^2.
Agora cálculo numérico:
\frac{d_A}{d_B} = \frac{0{,}15}{0{,}075} = 2,
v_B = 3{,}6\cdot 2^2 = 3{,}6\cdot 4 = 14{,}4\\ \text{m/s}.

Passo 4

Usar a equação de Bernoulli (desprezando perdas) entre A e B. Explicação do conceito: em um escoamento ideal e permanente, a soma da pressão estática, energia cinética por unidade de volume e energia potencial por unidade de volume é constante ao longo de uma linha de corrente. Forma da equação (por unidade de volume):
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}.
Aplicando entre A e B e isolando p_B:
p_B = p_A + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_A^2 - v_B^2\bigr) + \rho g\bigl(z_A - z_B\bigr).
Aqui:
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade (kg/m^3),
  • v é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2),
  • z é a cota vertical (m).
    Essa fórmula diz que a pressão em B é a pressão em A ajustada pela diferença de energia cinética e potencial.

Passo 5

Substituir os valores numéricos passo a passo. Primeiro, os termos cinéticos:
v_A^2 = (3{,}6)^2 = 12{,}96\\ \text{(m}^2/\text{s}^2),
v_B^2 = (14{,}4)^2 = 207{,}36\\ \text{(m}^2/\text{s}^2),
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_A^2 - v_B^2\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(12{,}96 - 207{,}36) = 500\cdot(-194{,}4) = -97200\\ \text{Pa}.
Agora o termo de peso (potencial):
\rho g (z_A - z_B) = 1000\cdot 9{,}81\cdot(6 - 3) = 1000\cdot 9{,}81\cdot 3 = 29430\\ \text{Pa}.
Somando tudo para obter p_B:
p_B = 103000 + (-97200) + 29430 = 35230\\ \text{Pa}.
Converter para \text{kN/m}^2 (lembrando que 1\\ \text{kN/m}^2 = 1\\ \text{kPa} = 1000\\ \text{Pa}):
p_B = \frac{35230}{1000} = 35{,}23\\ \text{kN/m}^2.
Arredondando com uma casa decimal (como no enunciado): p_B \approx 35{,}2\\ \text{kN/m}^2.

Resposta

p_B = 35{,}2\\ \mathrm{kN/m}^2

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