Em um projeto de circuitos integrados, analise um sistema com duas camadas dielétricas \left(\epsilon_{r 1}=3, d_{1}=0.005 \mathrm{~m} ; \epsilon_{r 2}=5, d_{2}=0.007 \mathrm{~m}\right) e área A=0.02 \mathrm{~m}^{2}. Calcule a capacitância total e o campo elétrico vetorial em cada camada se a tensão aplicada for 10 V .

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas com duas camadas dielétricas em série, cada uma com constante relativa e espessura:
\epsilon_{r1}=3, d_{1}=0,005\\ \mathrm{m} e \epsilon_{r2}=5, d_{2}=0,007\\ \mathrm{m}, área comum A=0,02\\ \mathrm{m}^2, e tensão total V=10\\ \mathrm{V}.
Vamos usar:
  1. Fórmula de capacitância de cada camada:
C_i = \frac{\epsilon_0\,\epsilon_{ri}\,A}{d_i}.
  1. Para dielétricos em série:
\frac{1}{C_{\mathrm{tot}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}.
  1. Carga comum Q = C_{\mathrm{tot}}\,V e campo em cada camada
E_i = \frac{\sigma}{\epsilon_0\,\epsilon_{ri}},\quad \sigma = \frac{Q}{A}.

Passo 2

Calcular C_1 e C_2:
C_1 = \frac{\epsilon_0\,\epsilon_{r1}\,A}{d_1} = \frac{(8{,}854\times10^{-12})(3)(0{,}02)}{0{,}005} \approx 1{,}0625\times10^{-10}\\ \mathrm{F},
C_2 = \frac{\epsilon_0\,\epsilon_{r2}\,A}{d_2} = \frac{(8{,}854\times10^{-12})(5)(0{,}02)}{0{,}007} \approx 1{,}2650\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.

Passo 3

Capacitância total em série:
\frac{1}{C_{\mathrm{tot}}} = \frac{1}{1{,}0625\times10^{-10}} + \frac{1}{1{,}2650\times10^{-10}} \approx 1{,}7317\times10^{10}\\ \mathrm{F}^{-1},
C_{\mathrm{tot}} \approx 5{,}775\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Carga no capacitor e densidade de carga de placa:
Q = C_{\mathrm{tot}}\,V = (5{,}775\times10^{-11})(10) =5{,}775\times10^{-10}\\ \mathrm{C},
\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{5{,}775\times10^{-10}}{0{,}02} =2{,}8875\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 5

Campo elétrico em cada camada (assumindo placas ortogonais ao eixo z, com potencial maior em z>0, o campo aponta no sentido -\hat z):
E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0\,\epsilon_{r1}} = \frac{2{,}8875\times10^{-8}}{(8{,}854\times10^{-12})(3)} \approx 1{,}09\times10^{3}\\ \mathrm{V/m},
E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0\,\epsilon_{r2}} = \frac{2{,}8875\times10^{-8}}{(8{,}854\times10^{-12})(5)} \approx 6,52\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
Como vetor,
\mathbf{E}_1 = -1{,}09\times10^{3}\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{V/m}, \quad \mathbf{E}_2 = -6{,}52\times10^{2}\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

Capacitância total:
C_{\mathrm{tot}} \approx 5{,}78\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Campos elétricos nas camadas:
\mathbf{E}_1 \approx -1{,}09\times10^{3}\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{V/m}, \qquad \mathbf{E}_2 \approx -6{,}52\times10^{2}\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{V/m}.

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