Um projeto consiste em investir anualmente \mathbf{X} durante três anos (anos 0 a 2 ). A previsão de lucros anuais (já descontados os impostos) é de 0,9 \mathrm{X} nos seis anos seguintes à conclusão dos investimentos (anos 3 a 8), depois 0,8 \mathrm{X} durante (anos 9 a 14) e, por último, 0,7 \mathrm{X} em seis anos (anos 15 a 20). A taxa mínima de atratividade é de 14%a.a. Calcule índice de eficiência do capital (VPL / VPI) desse projeto.

Passo 1

O enunciado diz que fazemos aportes de \mathbf{X} nos anos 0, 1 e 2 (saídas de caixa) e depois recebemos fluxos positivos nos anos 3–8 de 0{,}9X, nos anos 9–14 de 0{,}8X e nos anos 15–20 de 0{,}7X. A taxa de desconto é i=14\%. Queremos o índice de eficiência do capital, que é definido como
\text{Índice} = \frac{\text{VPL}}{\text{VPI}}Í
onde VPL é o valor presente líquido (NPV) e VPI é o valor presente dos investimentos (PV das saídas).

Passo 2

Calcular o valor presente das saídas \text{VPI}. Temos aportes \;X nos anos 0, 1 e 2. Com v=\tfrac1{1+i}=\tfrac1{1{,}14}\approx0,877193,
\text{VPI} = X\bigl(1 + v + v^2\bigr) = X\bigl(1 + 0,877193 + 0,769582\bigr) \approx 2{,}64678\,X.

Passo 3

Calcular o valor presente dos recebimentos em cada bloco usando série geométrica. Defina
g = \frac{1 - v^6}{1 - v}.
Com os valores acima, v^6\approx0{,}45670 e 1 - v\approx0{,}122807, logo
g = \frac{1 - 0{,}45670}{0{,}122807}\approx4{,}425.
Para cada bloco de 6 anos de recebimento constante C a partir do ano t_0,
\text{PV} = C \;v^{\,t_0}\;g.

Passo 4

Aplicar para cada bloco:
  1. Anos 3–8: C=0{,}9X, t_0=3, logo
\text{PV}_1 = 0{,}9X\;v^3\;g \approx0{,}9X\,(0{,}67580)\,(4{,}425) \approx2{,}690\,X.
  1. Anos 9–14: C=0{,}8X, t_0=9, e v^9=v^3\cdot v^6\approx0{,}30838, então
\text{PV}_2 = 0{,}8X\;v^9\;g \approx0{,}8X\,(0{,}30838)\,(4{,}425) \approx1{,}092\,X.
  1. Anos 15–20: C=0{,}7X, t_0=15, e v^{15}=v^9\cdot v^6\approx0{,}14078, então
\text{PV}_3 = 0{,}7X\;v^{15}\;g \approx0{,}7X\,(0{,}14078)\,(4{,}425) \approx0{,}435\,X.
Somando todos os recebimentos,
\text{PV}_\text{rec} = \text{PV}_1 + \text{PV}_2 + \text{PV}_3 \approx 2{,}690X + 1{,}092X + 0{,}435X =4{,}217\,X.

Passo 5

Calcular VPL e o índice de eficiência:
\text{VPL} = \text{PV}_\text{rec} - \text{VPI} \approx (4{,}217X) - (2{,}64678X) =1{,}5702\,X.
\text{Índice} = \frac{\text{VPL}}{\text{VPI}} \approx \frac{1{,}5702X}{2{,}64678X} \approx 0{,}593.Í

Resposta

O índice de eficiência do capital é aproximadamente 0{,}593.

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