Um sistema de controle de um robô de solda tem o seguinte polinômio característico:
1+G(s)=1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+3)}=0
Determine a faixa de valores de K e a para os quais o sistema é estável.
Passo 1
Enunciado resumido e dados importantes (só o que é pedido e o que foi dado):
O sistema em malha fechada tem polinômio característico dado por
1+G(s)=1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+3)}=0.
Pergunta: determinar a faixa (conjunto) de valores de K e a para os quais o sistema é estável (ou seja, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa).
Informações relevantes que o enunciado dá e que usaremos:
A expressão de G(s) com os parâmetros K e a.
As constantes nos polos do denominador: 0,-1,-2,-3 (aparentemente do sistema aberto), que nos permitem formar o polinômio característico em s.
Não há outras restrições explícitas sobre K e a no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever o polinômio característico como um polinômio em s.
Multiplicamos ambos os lados por s(s+1)(s+2)(s+3) para eliminar o denominador e obter um polinômio:
s(s+1)(s+2)(s+3) + K(s+a)=0.
Expandindo s(s+1)(s+2)(s+3). Uma forma organizada:
(s^2+3s)(s^2+3s+2)=(s^2+3s)^2+2(s^2+3s).
Calculando:
(s^2+3s)^2 = s^4+6s^3+9s^2,
2(s^2+3s)=2s^2+6s,
então
s(s+1)(s+2)(s+3)=s^4+6s^3+11s^2+6s.
Somando K(s+a) obtemos o polinômio característico em forma padrão:
s^4+6s^3+11s^2+(6+K)s+Ka=0.
Para facilitar, defino os coeficientes (todos em \mathbb{R}):
Explicação didática do método que vamos usar (Routh–Hurwitz), passo a passo e por que ele funciona:
Objetivo do critério de Routh–Hurwitz: decidir estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) sem calcular as raízes explicitamente.
Regra prática: para um polinômio com coeficientes reais, constrói-se a “tabela de Routh”. Se todos os elementos da primeira coluna da tabela têm o mesmo sinal (geralmente exigimos todos positivos), então o polinômio tem todas as raízes com parte real negativa (sistema estável).
Para um polinômio de ordem 4 (como aqui), a construção é simples e produz pequenas fórmulas algébricas para os elementos da primeira coluna; basta garantir que cada um seja positivo.
Vou montar a tabela de Routh para o polinômio \;s^4+6s^3+11s^2+(6+K)s+Ka\; e exigir positividade dos elementos da primeira coluna.
Passo 4
Montagem da tabela de Routh (mostrando como calcular cada elemento e explicando cada passo):
A tabela para ordem 4 tem a forma (colunas: coeficientes alternados):
além de K<60 (essa última já é automática se K<0).
Observações finais sobre as fronteiras:
Igualdade K=60 dá b_1=0 e normalmente produz raízes na parte imaginária (marginal); portanto não incluímos K=60 para estabilidade estrita.
Igualdade Ka=0 (ou seja K=0 ou a=0) também gera raiz(s) em zero ou algo marginal; excluímos essas iguais.
A expressão f(K) se anula em K=60 (verificação rápida: f(60)=10/60 +3/2 -60/36 =1/6+1{,}5-1{,}666\ldots=0), o que é consistente com o limite K\to60 dando a\to 0.
Passo 6
Exemplos rápidos para quando você precisar checar na prova (apenas para treinar a aplicação):