Um sistema de controle de um robô de solda tem o seguinte polinômio característico:
1+G(s)=1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+3)}=0
  • Determine a faixa de valores de K e a para os quais o sistema é estável.

Passo 1

Enunciado resumido e dados importantes (só o que é pedido e o que foi dado):
  • O sistema em malha fechada tem polinômio característico dado por
1+G(s)=1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+3)}=0.
  • Pergunta: determinar a faixa (conjunto) de valores de K e a para os quais o sistema é estável (ou seja, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa).
Informações relevantes que o enunciado dá e que usaremos:
  • A expressão de G(s) com os parâmetros K e a.
  • As constantes nos polos do denominador: 0,-1,-2,-3 (aparentemente do sistema aberto), que nos permitem formar o polinômio característico em s.
  • Não há outras restrições explícitas sobre K e a no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever o polinômio característico como um polinômio em s.
Multiplicamos ambos os lados por s(s+1)(s+2)(s+3) para eliminar o denominador e obter um polinômio:
s(s+1)(s+2)(s+3) + K(s+a)=0.
Expandindo s(s+1)(s+2)(s+3). Uma forma organizada:
(s^2+3s)(s^2+3s+2)=(s^2+3s)^2+2(s^2+3s).
Calculando:
(s^2+3s)^2 = s^4+6s^3+9s^2,
2(s^2+3s)=2s^2+6s,
então
s(s+1)(s+2)(s+3)=s^4+6s^3+11s^2+6s.
Somando K(s+a) obtemos o polinômio característico em forma padrão:
s^4+6s^3+11s^2+(6+K)s+Ka=0.
Para facilitar, defino os coeficientes (todos em \mathbb{R}):
a_4=1,\quad a_3=6,\quad a_2=11,\quad a_1=6+K,\quad a_0=Ka.

Passo 3

Explicação didática do método que vamos usar (Routh–Hurwitz), passo a passo e por que ele funciona:
  • Objetivo do critério de Routh–Hurwitz: decidir estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) sem calcular as raízes explicitamente.
  • Regra prática: para um polinômio com coeficientes reais, constrói-se a “tabela de Routh”. Se todos os elementos da primeira coluna da tabela têm o mesmo sinal (geralmente exigimos todos positivos), então o polinômio tem todas as raízes com parte real negativa (sistema estável).
  • Para um polinômio de ordem 4 (como aqui), a construção é simples e produz pequenas fórmulas algébricas para os elementos da primeira coluna; basta garantir que cada um seja positivo.
  • Vou montar a tabela de Routh para o polinômio \;s^4+6s^3+11s^2+(6+K)s+Ka\; e exigir positividade dos elementos da primeira coluna.

Passo 4

Montagem da tabela de Routh (mostrando como calcular cada elemento e explicando cada passo):
A tabela para ordem 4 tem a forma (colunas: coeficientes alternados):
\begin{array}{c|cc} s^4 & a_4 & a_2\\[4pt] s^3 & a_3 & a_1\\[4pt] s^2 & b_1 & a_0\\[4pt] s^1 & c_1 & 0\\[4pt] s^0 & d_1 & \end{array}
Substituindo os coeficientes:
\begin{array}{c|cc} s^4 & 1 & 11\\[4pt] s^3 & 6 & 6+K\\[4pt] s^2 & b_1 & Ka\\[4pt] s^1 & c_1 & 0\\[4pt] s^0 & Ka & \end{array}
Agora calculamos b_1, c_1 explicitamente com as fórmulas do Routh:
  • Fórmula para a entrada b_1 (linha s^2, primeira coluna):
b_1=\frac{a_3\cdot a_2 - a_4\cdot a_1}{a_3}.
Substituindo a_4=1,a_3=6,a_2=11,a_1=6+K:
b_1=\frac{6\cdot 11 - 1\cdot (6+K)}{6}=\frac{66-6-K}{6}=\frac{60-K}{6}.
Simplificando:
b_1=10-\frac{K}{6}.
  • Fórmula para c_1 (linha s^1, primeira coluna):
c_1=\frac{b_1\cdot a_1 - a_3\cdot a_0}{b_1}.
Substituindo a_1=6+K, a_0=Ka, a_3=6:
c_1=(6+K)-\frac{6\cdot Ka}{b_1}.
Para análise de sinal é útil escrever o numerador do cálculo direto (antes de dividir por b_1):
\text{numerador de }c_1 = b_1(6+K)-6\cdot Ka.
Substituindo b_1=\dfrac{60-K}{6} e multiplicando ambos os lados por 6 (para limpar denominadores) obtemos a condição correspondente a c_1>0:
(60-K)(6+K) -36Ka >0.
Expandindo (60-K)(6+K):
(60-K)(6+K)=360+54K-K^2.
Então a condição c_1>0 é
360+54K-K^2-36Ka>0.
  • A última entrada da primeira coluna é d_1=a_0=Ka.
Resumo: para estabilidade precisamos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos. Ou seja:
\begin{cases} a_4=1>0\quad\text{(já satisfeito)},\\[4pt] a_3=6>0\quad\text{(já satisfeito)},\\[4pt] b_1=10-\dfrac{K}{6}>0,\\[8pt] c_1\text{ dado pela inequação }360+54K-K^2-36Ka>0,\\[8pt] d_1=Ka>0. \end{cases}ááçã]

Passo 5

Interpretação e simplificação das condições: transformar as desigualdades em fórmulas mais amigáveis e tratáveis na prova.
  1. Da condição em b_1:
10-\frac{K}{6}>0 \quad\Longrightarrow\quad K<60.
(Observação: K=60 leva b_1=0 e requer tratamento especial (marginal); para estabilidade estrita precisamos K<60.)
  1. Da condição em c_1:
360+54K-K^2-36Ka>0.
Podemos rearranjar essa desigualdade para isolar a. Definindo a função
f(K)=\frac{360+54K-K^2}{36K},
podemos dividir por 36K com cuidado quanto ao sinal de K. Para K\neq 0 obtemos:
  • Se K>0, dividindo por 36K>0 a desigualdade vira
a < f(K).
  • Se K<0, dividindo por 36K<0 inverte-se a desigualdade:
a > f(K).
É prático simplificar f(K). Fazendo álgebra:
f(K)=\frac{360}{36K}+\frac{54K}{36K}-\frac{K^2}{36K} = \frac{10}{K}+\frac{3}{2}-\frac{K}{36}.
  1. Da condição d_1=Ka>0:
Ka>0\quad\Longrightarrow\quad \text{\(K\) e \(a\) têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).}ê
Portanto, combinando tudo (e lembrando K\neq 0 para ter Ka>0):
  • Regra geral (unificada):
K<60,\qquad Ka>0,\qquad 360+54K-K^2-36Ka>0.
  • Forma prática e fácil de aplicar na prova (separando casos):
Caso K>0 (logo a>0):
0<K<60,\qquad 0<a<f(K)=\frac{10}{K}+\frac{3}{2}-\frac{K}{36}.
Caso K<0 (logo a<0):
K<0,\qquad a>f(K)=\frac{10}{K}+\frac{3}{2}-\frac{K}{36},
além de K<60 (essa última já é automática se K<0).
Observações finais sobre as fronteiras:
  • Igualdade K=60 b_1=0 e normalmente produz raízes na parte imaginária (marginal); portanto não incluímos K=60 para estabilidade estrita.
  • Igualdade Ka=0 (ou seja K=0 ou a=0) também gera raiz(s) em zero ou algo marginal; excluímos essas iguais.
  • A expressão f(K) se anula em K=60 (verificação rápida: f(60)=10/60 +3/2 -60/36 =1/6+1{,}5-1{,}666\ldots=0), o que é consistente com o limite K\to60 dando a\to 0.

Passo 6

Exemplos rápidos para quando você precisar checar na prova (apenas para treinar a aplicação):
  • Exemplo 1: K=30>0. Calcule
f(30)=\frac{10}{30}+\frac{3}{2}-\frac{30}{36}=\frac{1}{3}+1{,}5-0{,}8333\ldots=1{,}0.
Então estabilidade estrita: 0<a<1.
  • Exemplo 2: K=10>0. Calcule
f(10)=\frac{10}{10}+\frac{3}{2}-\frac{10}{36}=1+1{,}5-0{,}2777\ldots=2{,}2222\ldots
Então estabilidade estrita: 0<a<2{,}222\ldots.
  • Exemplo 3: K=-2<0. Então a<0 e
f(-2)=\frac{10}{-2}+\frac{3}{2}-\frac{-2}{36}=-5+1{,}5+0{,}0555\ldots=-3{,}4444\ldots
Para K=-2 a condição é a>-3{,}4444\ldots e a<0 (já que a deve ter mesmo sinal de K), logo -3{,}4444\ldots < a < 0.
Esses exemplos mostram como usar as fórmulas diretamente na prova sem fazer contas muito complexas.

Resposta

K<60,\quad Ka>0,\quad 360+54K-K^2-36Ka>0.
Equivalente (forma prática):
Se K>0 (logo a>0):
0<K<60\quad\text{e}\quad 0<a<\frac{10}{K}+\frac{3}{2}-\frac{K}{36}.
Se K<0 (logo a<0):
K<0\quad\text{e}\quad a>\frac{10}{K}+\frac{3}{2}-\frac{K}{36}.

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