Determine se o seguinte sistema de controle é estável usando o critério RH.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema com polinômio característico
é estável usando o critério de Routh–Hurwitz. As informações relevantes fornecidas são:
A pergunta a responder é: o sistema é estável (todas as raízes com parte real negativa) ou não? Se não, quantas raízes têm parte real positiva (pólos no semiplano direito)?
Passo 2
Breve aula sobre o critério de Routh (intuição e fórmula básica):
- O critério de Routh permite saber quantas raízes do polinômio têm parte real positiva construindo uma tabela (a “tabela de Routh”) e contando as mudanças de sinal na primeira coluna.
- Para um polinômio de grau
a primeira linha da tabela contém
e a segunda linha contém
.
- Para construir uma entrada qualquer da tabela usamos a fórmula (quando a entrada pivot na linha inferior é diferente de zero):
- Se uma linha inteira virar zeros, substituímos essa linha pela derivada do polinômio auxiliar obtido a partir da linha imediatamente acima (explicarei isso quando ocorrer).
Passo 3
Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh a partir dos coeficientes (vou exibir em forma de linhas):
Linha correspondente a :
Linha correspondente a
Linha correspondente a
:
(Aqui peguei os coeficientes diretamente do enunciado:
para a linha
e
para a linha
.)
Passo 4
Calcular a linha de
usando a fórmula do Routh. Seja a linha de cima (s^{5})
e a linha de baixo (s^{4})
. Então os elementos da linha
são:
Primeiro elemento:
Primeiro elemento:
Segundo elemento:
Terceiro elemento (não necessário normalmente) seria zero neste caso.
Portanto linha :
Portanto linha
Passo 5
Calcular a linha de
usando agora a linha
(que é a “linha de cima” para esta etapa) e a linha
(que é a “linha de baixo” para a fórmula). Tome
e
. O primeiro elemento da linha
é
O segundo elemento é
Assim:
Passo 6
Construir a linha de
. Usamos a linha
(acima) e a
(abaixo) na fórmula. Com
e
o primeiro elemento fica
O segundo elemento também será zero. Ou seja, a linha correspondente a
fica toda nula:
Quando uma linha inteira é zero, isso indica que existe um polinômio auxiliar associado e devemos formar esse polinômio auxiliar a partir da linha imediatamente acima (a linha
) e, em seguida, substituir a linha zero pela derivada desse polinômio auxiliar (isso é parte padrão do método de Routh).
Passo 7
Formar o polinômio auxiliar
a partir da linha
. A linha
tem coeficientes
(para
) e
(para
), então
Derivando:
Os coeficientes de
(organizados para as potências
) são
e
. Assim substituímos a linha
nula por
Passo 8
Calcular a última linha
usando as linhas
e
. Com
(linha
) e
(linha
), o elemento da linha
é
Portanto a coluna principal (primeira coluna) da tabela de Routh, de cima para baixo, é:
Passo 9
Interpretando a primeira coluna: conte as mudanças de sinal conforme descemos a coluna.
Sequência de sinais:
Sequência de sinais:
As mudanças de sinal ocorrem:
- de
para (uma mudança), - de
para (segunda mudança).
Total de mudanças de sinal:. Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com parte real positiva (pólos no semiplano direito) é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. Logo existem raízes com parte real positiva, o que significa que o sistema é instável.
Resposta
Instável — há
raízes com parte real positiva.