Determine se o seguinte sistema de controle é estável usando o critério RH.
q(s)=s^{5}+s^{4}+4 s^{3}+24 s^{2}+3 s+63 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema com polinômio característico
q(s)=s^{5}+s^{4}+4 s^{3}+24 s^{2}+3 s+63
é estável usando o critério de Routh–Hurwitz. As informações relevantes fornecidas são:
\text{coeficientes: } a_{5}=1,\; a_{4}=1,\; a_{3}=4,\; a_{2}=24,\; a_{1}=3,\; a_{0}=63.
A pergunta a responder é: o sistema é estável (todas as raízes com parte real negativa) ou não? Se não, quantas raízes têm parte real positiva (pólos no semiplano direito)?

Passo 2

Breve aula sobre o critério de Routh (intuição e fórmula básica):
  • O critério de Routh permite saber quantas raízes do polinômio têm parte real positiva construindo uma tabela (a “tabela de Routh”) e contando as mudanças de sinal na primeira coluna.
  • Para um polinômio de grau n
p(s)=a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,
a primeira linha da tabela contém (a_n, a_{n-2}, a_{n-4},\dots) e a segunda linha contém (a_{n-1}, a_{n-3}, a_{n-5},\dots).
  • Para construir uma entrada qualquer da tabela usamos a fórmula (quando a entrada pivot na linha inferior é diferente de zero):
\text{nova}=\frac{(\text{elemento da linha de baixo à esquerda})\times(\text{elemento da linha de cima à direita}) - (\text{elemento da linha de cima à esquerda})\times(\text{elemento da linha de baixo à direita})}{\text{elemento da linha de baixo à esquerda}}.ààààà
  • Se uma linha inteira virar zeros, substituímos essa linha pela derivada do polinômio auxiliar obtido a partir da linha imediatamente acima (explicarei isso quando ocorrer).

Passo 3

Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh a partir dos coeficientes (vou exibir em forma de linhas):
Linha correspondente a s^{5}:
\text{(s}^{5}\text{)}:\quad 1,\;4,\;3
Linha correspondente a s^{4}:
\text{(s}^{4}\text{)}:\quad 1,\;24,\;63
(Aqui peguei os coeficientes diretamente do enunciado: \;a_{5}=1,\;a_{3}=4,\;a_{1}=3 para a linha s^{5} e \;a_{4}=1,\;a_{2}=24,\;a_{0}=63 para a linha s^{4}.)

Passo 4

Calcular a linha de s^{3} usando a fórmula do Routh. Seja a linha de cima (s^{5}) (t_1,t_2,t_3)=(1,4,3) e a linha de baixo (s^{4}) (u_1,u_2,u_3)=(1,24,63). Então os elementos da linha s^{3} são:
Primeiro elemento:
\frac{u_{1}t_{2}-t_{1}u_{2}}{u_{1}}=\frac{1\cdot 4 - 1\cdot 24}{1}=4-24=-20.
Segundo elemento:
\frac{u_{1}t_{3}-t_{1}u_{3}}{u_{1}}=\frac{1\cdot 3 - 1\cdot 63}{1}=3-63=-60.
Terceiro elemento (não necessário normalmente) seria zero neste caso.
Portanto linha s^{3}:
\text{(s}^{3}\text{)}:\quad -20,\;-60

Passo 5

Calcular a linha de s^{2} usando agora a linha s^{3} (que é a “linha de cima” para esta etapa) e a linha s^{4} (que é a “linha de baixo” para a fórmula). Tome (t_1,t_2)=( -20,-60) e (u_1,u_2)=(1,24). O primeiro elemento da linha s^{2} é
\frac{t_{1}u_{2}-u_{1}t_{2}}{t_{1}}=\frac{(-20)\cdot 24 - 1\cdot(-60)}{-20}=\frac{-480+60}{-20}=\frac{-420}{-20}=21.
O segundo elemento é
\frac{t_{1}u_{3}-u_{1}t_{3}}{t_{1}}=\frac{(-20)\cdot 63 - 1\cdot 0}{-20}=\frac{-1260}{-20}=63.
Assim:
\text{(s}^{2}\text{)}:\quad 21,\;63

Passo 6

Construir a linha de s^{1}. Usamos a linha s^{2} (acima) e a s^{3} (abaixo) na fórmula. Com (t_1,t_2)=(21,63) e (u_1,u_2)=(-20,-60) o primeiro elemento fica
\frac{t_{1}u_{2}-u_{1}t_{2}}{t_{1}}=\frac{21\cdot(-60) - (-20)\cdot 63}{21}=\frac{-1260 +1260}{21}=0.
O segundo elemento também será zero. Ou seja, a linha correspondente a s^{1} fica toda nula:
\text{(s}^{1}\text{)}:\quad 0,\;0.
Quando uma linha inteira é zero, isso indica que existe um polinômio auxiliar associado e devemos formar esse polinômio auxiliar a partir da linha imediatamente acima (a linha s^{2}) e, em seguida, substituir a linha zero pela derivada desse polinômio auxiliar (isso é parte padrão do método de Routh).

Passo 7

Formar o polinômio auxiliar A(s) a partir da linha s^{2}. A linha s^{2} tem coeficientes 21 (para s^{2}) e 63 (para s^{0}), então
A(s)=21 s^{2}+63.
Derivando:
A'(s)=42 s.
Os coeficientes de A'(s) (organizados para as potências s^{1},s^{0}) são 42 e 0. Assim substituímos a linha s^{1} nula por
\text{(s}^{1}\text{)}:\quad 42,\;0.

Passo 8

Calcular a última linha s^{0} usando as linhas s^{1} e s^{2}. Com (t_1,t_2)=(42,0) (linha s^{1}) e (u_1,u_2)=(21,63) (linha s^{2}), o elemento da linha s^{0} é
\frac{t_{1}u_{2}-u_{1}t_{2}}{t_{1}}=\frac{42\cdot 63 - 21\cdot 0}{42}=\frac{2646}{42}=63.
Portanto a coluna principal (primeira coluna) da tabela de Routh, de cima para baixo, é:
\begin{array}{l} s^{5}: \;1\\[2pt] s^{4}: \;1\\[2pt] s^{3}: \;-20\\[2pt] s^{2}: \;21\\[2pt] s^{1}: \;42\\[2pt] s^{0}: \;63 \end{array}]

Passo 9

Interpretando a primeira coluna: conte as mudanças de sinal conforme descemos a coluna.
Sequência de sinais:
+,\;+\;,\;-\;,\;+\;,\;+\;,\;+
As mudanças de sinal ocorrem:
  • de + para - (uma mudança),
  • de - para + (segunda mudança).
    Total de mudanças de sinal: 2. Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com parte real positiva (pólos no semiplano direito) é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. Logo existem 2 raízes com parte real positiva, o que significa que o sistema é instável.

Resposta

Instável — há 2 raízes com parte real positiva.

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