No projeto de um forno contínuo, bolinhas de carne de diâmetro dc= 40 mm e propriedades \alpha=1,6 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e \mathrm{k}=0,65(\mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}) serão assadas. Este produto se encontra inicialmente a uma temperatura \mathrm{Ti}=-2^{\circ} \mathrm{C}. Um sistema de ventilação forçada tipo ‘turbo convection’ pode ser usado e implica em coeficiente de transferência de calor de \mathrm{h}=100 \mathrm{~W} /(\mathrm{m}^2 . \mathrm{K}). A temperatura ambiente do forno \mathrm{T} \infty pode ser controlada. Considere que o cozimento completo implica em atingir a temperatura de \mathrm{Tc}= 80^{\circ} \mathrm{C}, e que este processo deva ocorrer no tempo máximo de t=15 \mathrm{~min}… Sendo desprezados os efeitos de radiação, determine: (a) a temperatura indicada para a operação do forno T_{\infty}(b) para esta condição, qual seria a temperatura de superfície do produto ao final do processo; (c) se, por um problema de ventilação a taxa de transferência de calor fosse reduzida para \mathrm{hm}=7 \mathrm{~W} /(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}) sem alteração da temperatura Too, qual seria o novo tempo necessário para que a temperatura estabelecida fosse atingida?

Passo 1

O enunciado trata do aquecimento transiente de uma bolinha de carne esférica de diâmetro d_c=40\:\text{mm} (logo raio R=20\:\text{mm}=0{,}02\:\text{m}), com condutividade térmica k=0{,}65\:\text{W/m\cdotK} e difusividade térmica \alpha=1{,}6\times10^{-7}\:\text{m}^2/\text{s}. Inicialmente ela está a T_i=-2\,^\circ\text{C} e, por convecção forçada com coeficiente h=100\:\text{W/m}^2\cdot\text{K}, queremos elevar sua temperatura central a T_c=80\,^\circ\text{C} num tempo t=15\:\text{min}. Como \mathrm{Bi} \sim 1 (> 0,1), não vale o modelo de capacidade concentrada e usamos a solução em série (Heisler) truncada em termos dominantes.

Passo 2

Definimos as variáveis adimensionais
\mathrm{Bi}=\frac{h\,R}{k}, \quad \mathrm{Fo}=\frac{\alpha\,t}{R^2},
onde R=0{,}02\:\text{m} e t=15\:\text{min}=900\:\text{s}. Logo
\mathrm{Bi}=\frac{100\cdot0{,}02}{0{,}65}\approx3{,}08, \quad \mathrm{Fo}=\frac{1{,}6\times10^{-7}\cdot900}{(0{,}02)^2}\approx0{,}36.
Como \mathrm{Bi}>0{,}1, usamos a solução por autovalores.

Passo 3

Na aproximação de primeiro termo a temperatura adimensional no centro da esfera é
\Theta_c(\mathrm{Fo}) =\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \approx B_1\,\exp\bigl(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde \lambda_1 satisfaz
\lambda_1\cos\lambda_1+(\mathrm{Bi}-1)\,\sin\lambda_1=0
e
B_1=\frac{4\sin\lambda_1}{2\lambda_1+\sin2\lambda_1}.

Passo 4

Para \mathrm{Bi}=3{,}08 resolvemos
\lambda\cos\lambda+(3{,}08-1)\sin\lambda=0,
obtendo numericamente \lambda_1\approx1{,}59.
Em seguida
B_1=\frac{4\sin1{,}59}{2\cdot1{,}59+\sin(2\cdot1{,}59)}\approx1{,}27.
Queremos T(0,t)=T_c, ou seja
\frac{80-T_\infty}{-2-T_\infty} =\Theta_c(\mathrm{Fo}) \approx1{,}27\,e^{-1{,}59^2\cdot0{,}36}.
Calculando 1{,}59^2\cdot0{,}36\approx0{,}91 e 1{,}27e^{-0{,}91}\approx0{,}465, temos
\frac{80-T_\infty}{-2-T_\infty}=0{,}465 \;\Longrightarrow\; 80-T_\infty=0{,}465(-2-T_\infty) \;\Longrightarrow\; T_\infty\approx151{,}3\,^\circ\text{C}.

Passo 5

Para obter a temperatura de superfície ao final ( r=R), usamos a mesma forma de solução em série, que em primeiro termo dá
\Theta_s(\mathrm{Fo}) =\frac{T(R,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \approx B_1\,\frac{\sin\lambda_1}{\lambda_1}\,e^{-\lambda_1^2\mathrm{Fo}}.
Já temos B_1\approx1{,}27, \sin1{,}59/1{,}59\approx0{,}63 e e^{-0{,}91}\approx0{,}40, logo
\Theta_s\approx1{,}27\cdot0{,}63\cdot0{,}40\approx0{,}32.
Logo
T(R,t)=T_\infty+ \Theta_s\,(T_i-T_\infty) =151{,}3 +0{,}32(-2-151{,}3) \approx106{,}4\,^\circ\text{C}.

Passo 6

Se h cai para 7\:\text{W/m}^2\cdot\text{K} e mantemos T_\infty=151{,}3\,^\circ\text{C}, recalculamos
\mathrm{Bi}=\frac{7\cdot0{,}02}{0{,}65}\approx0{,}215.
Resolvendo
\lambda\cos\lambda+(\,0{,}215-1)\sin\lambda=0
obtém-se \lambda_1\approx0{,}78 e
B_1=\frac{4\sin0{,}78}{2\cdot0{,}78+\sin(2\cdot0{,}78)}\approx1{,}10.
Precisamos do tempo tal que \Theta_c=0{,}465, ou
1{,}10\,e^{-0{,}78^2\,\mathrm{Fo}}=0{,}465 \;\Longrightarrow\; \mathrm{Fo}=\frac{-\ln(0{,}465/1{,}10)}{0{,}78^2}\approx1{,}42.
Então
t=\mathrm{Fo}\,\frac{R^2}{\alpha} =1{,}42\;\frac{(0{,}02)^2}{1{,}6\times10^{-7}} \approx3{,}550\:\text{s}\approx59{,}2\:\text{min}.

Resposta

(a) T_\infty\approx151{,}3\,^\circ\text{C}.
(b) T(R,t)\approx106{,}4\,^\circ\text{C}.
(c) t\approx59{,}2\:\text{min}.

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