4^{a} QUESTÃO (7,0 pontos) [Adaptado de CHBE, 2011]. Um bocal foi projetado para acelerar o fluido de uma velocidade u_{1} para u_{2} de forma linear. Se o escoamento ocorre em regime permanente e unidimensional, e as velocidades 1 e 2 são, respectivamente, u_{1}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\left(\mathrm{em} x_{1}=0 \mathrm{~m}\right) e u_{2}=2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\left(\mathrm{em} x_{2}=1 \mathrm{~m}\right), determine: (a) a aceleração local; (b) a aceleração convectiva; (c) e as acelerações totais do fluido nos pontos (1) e (2).

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento unidimensional e permanente num bocal em que a velocidade varia de forma linear de u_{1}=1,m/s em x_{1}=0 até u_{2}=2{,}5,m/s em x_{2}=1,m.
Queremos calcular a aceleração local ( \partial u/\partial t), a aceleração convectiva ( u\,\partial u/\partial x) e, a partir delas, a aceleração total
a = \frac{\partial u}{\partial t} + u\,\frac{\partial u}{\partial x}.

Passo 2

Como o perfil de velocidade é linear entre os pontos dados, escrevemos
u(x) = A\,x + B
e usamos u(0)=1 e u(1)=2{,}5. Logo,
A = \frac{2{,}5 - 1}{1 - 0} = 1{,}5,\quad B = 1,
portanto
u(x) = 1{,}5\,x + 1.

Passo 3

Em regime permanente temos
\frac{\partial u}{\partial t} = 0,
ou seja, a aceleração local é nula.

Passo 4

Calculamos a derivada espacial de u:
\frac{\partial u}{\partial x} = 1{,}5.
Com isso, a aceleração convectiva geral fica
a_{\text{conv}} = u\,\frac{\partial u}{\partial x} = 1{,}5\,u(x).

Passo 5

Agora avaliamos a_{\text{conv}} nos pontos dados:
\begin{aligned} \text{em }x_{1}=0:\quad u_{1}&=1\quad\Longrightarrow\quad a_{\text{conv},1}=1{,}5\times1=1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}},\\\ \text{em }x_{2}=1:\quad u_{2}&=2{,}5\quad\Longrightarrow\quad a_{\text{conv},2}=1{,}5\times2{,}5=3{,}75\\ \mathrm{m/s^{2}}. \end{aligned}

Passo 6

A aceleração total em cada ponto é
a = \frac{\partial u}{\partial t} + a_{\text{conv}} = 0 + a_{\text{conv}},
logo coincide numericamente com os valores de a_{\text{conv}} nos pontos 1 e 2.

Resposta

(a) A aceleração local é
\frac{\partial u}{\partial t}=0.
(b) A aceleração convectiva geral é
a_{\text{conv}}=1{,}5\,u(x),
e em x_{1}=0 vale 1{,}5,m/ s^{2}, em x_{2}=1 vale 3{,}75,m/ s^{2}.
(c) As acelerações totais nos pontos 1 e 2 são, respectivamente,
a_{1}=1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad a_{2}=3{,}75\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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