Para uma peça plana de cobre de seção transversal 120 \mathrm{~cm}^{2} e comprimento de 32.4 cm . supostamente isolada lateralmente. Sabe-se que esta peça está submetida a um perfil de temperaturas dado pela equaçăo \mathrm{t}=197-293,21 \times{ }^{\circ} \mathrm{C} e que o coeficiente de condutividade do cobre a 200{ }^{\circ} \mathrm{C} é 322 \mathrm{kcal} / \mathrm{m} . \mathrm{h} .{ }^{\circ} \mathrm{C} a 100{ }^{\circ} \mathrm{C} é 326 \mathrm{kcal} / \mathrm{m} . \mathrm{h} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e a 0^{\circ} \mathrm{C} e de 332 \mathrm{kcal} / \mathrm{m} . \mathrm{h} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se: a) O fluxo de calor. b) a quantidade de calor transmitida, em 3 horas e 25 minutos, pela peça.

Passo 1

O enunciado trata da condução estacionária de calor unidimensional numa barra de cobre, lateralmente isolada, com comprimento L=32{,}4\;\mathrm{cm}=0{,}324\;\mathrm{m} e área de seção transversal A=120\;\mathrm{cm}^2=0{,}012\;\mathrm{m}^2. A temperatura ao longo da barra está dada por
t(x)=197-293{,}21\,x\quad(^{\circ}\mathrm{C}),
onde x está em metros. Assim, as extremidades ficam em
T_h=t(0)=197\;^{\circ}\mathrm{C}, \quad T_c=t(L)=197-293{,}21\times0{,}324\approx102\;^{\circ}\mathrm{C}.
O coeficiente de condutividade térmica do cobre varia com a temperatura, sendo
k(0)=332,\quad k(100)=326,\quad k(200)=322
em unidades de \mathrm{kcal}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{h}\cdot^{\circ}\mathrm{C}). Para achar o fluxo de calor precisamos usar a lei de Fourier com k=k(T).

Passo 2

Aproximamos k(T) por uma função linear em T. Como
\frac{k(200)-k(0)}{200-0}=\frac{322-332}{200}=-0{,}05,
tomamos
k(T)=332-0{,}05\,T.

Passo 3

Para escoamento estacionário em regime unidimensional a lei de Fourier dá
q \;=\;-k(T)\,A\,\frac{dT}{dx}.
Mas, integrando corretamente para k variável e usando q= constante ao longo da barra, obtém-se
q=\frac{A}{L}\int_{T_c}^{T_h}k(T)\,dT.

Passo 4

Calculemos a integral
\int_{T_c}^{T_h}k(T)\,dT =\int_{102}^{197}\bigl(332-0,05\,T\bigr)dT =\Bigl[332\,T-0,025\,T^2\Bigr]_{102}^{197}.
Avalia-se em T=197:
332\cdot197-0,025\cdot197^2=65\,404-970,225=64\,433,775,
e em T=102:
332\cdot102-0,025\cdot102^2=33\,864-260,100=33\,603,900.
Logo
\int_{102}^{197}k(T)\,dT =64\,433,775-33\,603,900=30\,829,875.

Passo 5

Substituindo em
q=\frac{A}{L}\int_{T_c}^{T_h}k(T)\,dT
com A=0{,}012\;\mathrm{m}^2 e L=0{,}324\;\mathrm{m}, vem
q =\frac{0,012}{0,324}\times30\,829,875 \approx1{,}141\times10^{3}\;\mathrm{kcal/h}.
Esse é o fluxo de calor constante pela barra.

Passo 6

Para a quantidade de calor transmitida num intervalo de \Delta t=3\;\mathrm{h}\;25\;\mathrm{min}=3,4167\;\mathrm{h}, basta
Q=q\,\Delta t \approx1\,141\;\mathrm{kcal/h}\times3,4167\;\mathrm{h} \approx3{,}90\times10^{3}\;\mathrm{kcal}.

Resposta

a) q\approx1{,}14\times10^{3}\;\mathrm{kcal/h}.
b) Q\approx3{,}90\times10^{3}\;\mathrm{kcal}.

Exercícios relacionados