Projeto de Melhoria Continua: Atualmente, as montagens de um eixo e um mancal tem uma folga cujo desvio padrao total e de
. O eixo e fabricado com uma media fixa e inalteravel de
. O gestor da qualidade exige que a probabilidade da folga ser inferior a
(muito justa) seja reduzida para exatamente
( Z -score de
). Para
atingir esta meta, para qual valor deve ser recalibrada a MEDIA do diametro interno do mancal?
atingir esta meta, para qual valor deve ser recalibrada a MEDIA do diametro interno do mancal?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números fornecidos):
- Desvio padrão total da folga (clearance):
. - A média do eixo (shaft) é fixa e inalterável:
. - O gestor quer que a probabilidade da folga ser menor que
seja exatamente , i.e. . Foi dado o -score correspondente .
O que se pede: - Determinar para que valor deve ser recalibrada a média do diâmetro interno do mancal (ou seja,
) para que a condição acima seja satisfeita.
Passo 2
Definições e relação entre as variáveis (explicando passo a passo):
- Seja
a folga (clearance) definida por
- A média da folga é
Expliquei isso porque a média da diferença é a diferença das médias: se cada peça tiver um valor médio, a folga média é exatamente a diferença entre essas médias.
- O desvio padrão total da folga é
(fornecido no enunciado). Vamos assumir que é aproximadamente normal (hipótese padrão para problemas de tolerância estatística), então podemos usar o -score para relacionar uma probabilidade com uma posição em relação à média.
Passo 3
Relação com o
-score (o conceito):
- Para uma variável normal
com média e desvio padrão , o -score para um valor é
- O enunciado quer
. O correspondente à probabilidade acumulada é . Logo, ao aplicar a fórmula com temos a equação
Esta equação liga a média da folga
com o desvio padrão conhecido e o
desejado.
Passo 4
Resolver a equação para
:
- Isolando
na equação
multiplicamos ambos os lados por
e rearranjamos:
Expliquei cada passo: multiplicação para eliminar o denominador e depois passei o termo
para o outro lado trocando de sinal.
Passo 5
Substituir o valor de
e calcular numericamente:
- Substituindo
na fórmula
- Calculemos o produto passo a passo:
- Somando:
Arredondando de forma coerente com os dados (quatro casas decimais como no desvio padrão), podemos usar
.
Passo 6
Calcular a média do diâmetro interno do mancal
:
- Lembrando que
, então
- Substituindo
e :
Arredondando coerentemente: