Projeto de Melhoria Continua: Atualmente, as montagens de um eixo e um mancal tem uma folga cujo desvio padrao total e de 0,0943 \mathrm{~mm}. O eixo e fabricado com uma media fixa e inalteravel de 50,00 \mathrm{~mm}. O gestor da qualidade exige que a probabilidade da folga ser inferior a 0,05 \mathrm{~mm} (muito justa) seja reduzida para exatamente 1 \% ( Z -score de -2,33 ). Para
atingir esta meta, para qual valor deve ser recalibrada a MEDIA do diametro interno do mancal?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Desvio padrão total da folga (clearance): \sigma_X = 0,0943\\ \mathrm{mm}.
  • A média do eixo (shaft) é fixa e inalterável: \mu_{\text{eixo}} = 50,00\\ \mathrm{mm}.
  • O gestor quer que a probabilidade da folga ser menor que 0,05\\ \mathrm{mm} seja exatamente 1\%, i.e. P(X < 0,05)=0{,}01. Foi dado o z-score correspondente z=-2{,}33.
    O que se pede:
  • Determinar para que valor deve ser recalibrada a média do diâmetro interno do mancal (ou seja, \mu_{\text{mancal}}) para que a condição acima seja satisfeita.

Passo 2

Definições e relação entre as variáveis (explicando passo a passo):
  • Seja X a folga (clearance) definida por
X = D_{\text{mancal}} - D_{\text{eixo}}.
  • A média da folga é
\mu_X = \mu_{\text{mancal}} - \mu_{\text{eixo}}.
Expliquei isso porque a média da diferença é a diferença das médias: se cada peça tiver um valor médio, a folga média é exatamente a diferença entre essas médias.
  • O desvio padrão total da folga é \sigma_X (fornecido no enunciado). Vamos assumir que X é aproximadamente normal (hipótese padrão para problemas de tolerância estatística), então podemos usar o z-score para relacionar uma probabilidade com uma posição em relação à média.

Passo 3

Relação com o z-score (o conceito):
  • Para uma variável normal X com média \mu_X e desvio padrão \sigma_X, o z-score para um valor x é
z=\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}.
  • O enunciado quer P(X<0,05)=0{,}01. O z correspondente à probabilidade acumulada 0{,}01 é z=-2{,}33. Logo, ao aplicar a fórmula com x=0,05 temos a equação
\frac{0,05-\mu_X}{\sigma_X}=-2{,}33.
Esta equação liga a média da folga \mu_X com o desvio padrão conhecido e o z desejado.

Passo 4

Resolver a equação para \mu_X:
  • Isolando \mu_X na equação
\frac{0,05-\mu_X}{\sigma_X}=-2{,}33
multiplicamos ambos os lados por \sigma_X e rearranjamos:
0,05-\mu_X = -2{,}33\,\sigma_X
\mu_X = 0,05 + 2{,}33\,\sigma_X.
Expliquei cada passo: multiplicação para eliminar o denominador e depois passei o termo -\mu_X para o outro lado trocando de sinal.

Passo 5

Substituir o valor de \sigma_X e calcular numericamente:
  • Substituindo \sigma_X = 0,0943\\ \mathrm{mm} na fórmula
\mu_X = 0,05 + 2{,}33 \times 0,0943.
  • Calculemos o produto passo a passo:
2{,}33 \times 0,0943 = 0,219719.
  • Somando:
\mu_X = 0,05 + 0,219719 = 0,269719\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma coerente com os dados (quatro casas decimais como no desvio padrão), podemos usar \mu_X \approx 0,2697\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Calcular a média do diâmetro interno do mancal \mu_{\text{mancal}}:
  • Lembrando que \mu_X = \mu_{\text{mancal}} - \mu_{\text{eixo}}, então
\mu_{\text{mancal}} = \mu_X + \mu_{\text{eixo}}.
  • Substituindo \mu_X = 0,269719\\ \mathrm{mm} e \mu_{\text{eixo}}=50,00\\ \mathrm{mm}:
\mu_{\text{mancal}} = 50,00 + 0,269719 = 50,269719\\ \mathrm{mm}.
Arredondando coerentemente:
\mu_{\text{mancal}} \approx 50,2697\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\mu_{\text{mancal}} \approx 50,2697\\ \mathrm{mm}

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