Cenario: No laboratorio de extrusao de fios texteis, o objetivo e MAXIMIZAR a resistencia a tracao. Fatores: A (Velocidade), B
(Temperatura), C (Aditivo Estabilizante: 0% vs 5%). Efeitos significativos (E r r o=1,63): A=+10,0 ; B=+5,0 ; Interacao A C=+15,0. O Fator C teve um efeito principal rigorosamente NULO (0,0).
Problema: Qual e a configuracao otima de niveis (Alto / Baixo) para os 3 fatores, e qual e a justificacao estatistica para o Fator C aparentar ser inutil (Efeito 0,0 ) mas ser decisivo no DOE?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Qual é a configuração ótima de níveis (Alto / Baixo) para os três fatores A, B, C que MAXIMIZA a resistência à tração?
    2. Qual a justificativa estatística para o fator C ter efeito principal rigorosamente nulo ( 0,0) mas, ainda assim, ser decisivo no DOE?
  • Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
    • Erro padrão dos efeitos: \, \text{Erro} = 1,63 \,.
    • Efeitos estimados:
      • A = +10,0
      • B = +5,0
      • C = 0,0
      • Interação A\!C = +15,0
    • Interpretação implícita: efeitos positivos indicam aumento da resposta quando o fator vai de Baixo \to Alto.

Passo 2

Entender o que significa “efeito” em experimento 2^k e como ligar efeitos ao modelo preditivo simples.
  • Em um experimento com fatores em dois níveis ( -1 = Baixo, +1 = Alto) costuma-se escrever o modelo linear (sem ruído) como
\hat y = \mu + a\,x_A + b\,x_B + c\,x_C + (ac)\,x_A x_C + \dots
onde x_A,x_B,x_C\in\{-1,+1\}.
  • Relação entre os “efeitos” reportados (diferença Alto−Baixo) e os coeficientes do modelo: o efeito reportado é tipicamente o dobro do coeficiente do termo correspondente no modelo. Ou seja, se o efeito de A é E_A (diferença média Alto−Baixo), então o coeficiente a no modelo vale
a = \frac{E_A}{2}.
Isto vale também para interações: se E_{AC} é o efeito da interação A\!C, então o coeficiente do termo x_A x_C é \dfrac{E_{AC}}{2}.

Passo 3

Calcular os coeficientes do modelo a partir dos efeitos dados (para usar no raciocínio de maximização).
  • Usando a relação do passo anterior:
a=\frac{E_A}{2}=\frac{10,0}{2}=5, \quad b=\frac{E_B}{2}=\frac{5,0}{2}=2,5,
c=\frac{E_C}{2}=\frac{0,0}{2}=0, \quad (ac)=\frac{E_{AC}}{2}=\frac{15,0}{2}=7,5.
  • Portanto, mantendo só termos relevantes (os não informados assumimos desprezíveis), o modelo aproximado (sem constante \mu, pois só nos interessa a direção de maximização) fica:
\hat y \approx a\,x_A + b\,x_B + (ac)\,x_A x_C
ou explicitamente
\hat y \approx 5\,x_A + 2{,}5\,x_B + 7{,}5\,x_A x_C.

Passo 4

Estratégia para maximizar \hat y com x_A,x_B,x_C\in\{-1,+1\}.
  • Como b=2{,}5>0, o termo em B é sempre aumentado ao escolher x_B=+1 (nível Alto). Logo, para maximizar a resposta devemos escolher
x_B=+1 \quad\text{(ou seja, \(B=\) Alto).}
  • Restam A e C. A contribuição desses dois ao \hat y é
\Delta_{A,C} = 5\,x_A + 7{,}5\,x_A x_C = x_A\bigl(5 + 7{,}5\,x_C\bigr).
  • Para um dado valor de x_C, a melhor escolha de x_A é:
    • Se 5 + 7{,}5\,x_C > 0, então x_A=+1 (Alto).
    • Se 5 + 7{,}5\,x_C < 0, então x_A=-1 (Baixo).

Passo 5

Avaliar explicitamente as duas possibilidades para x_C.
  • Se x_C=+1 (C = Alto):
5 + 7{,}5\cdot(+1) = 5 + 7{,}5 = 12{,}5 > 0 \quad\Rightarrow\quad x_A=+1.
A contribuição conjunta vale
\Delta_{A,C} = x_A(5+7{,}5x_C)=+1\cdot 12{,}5 = 12{,}5.
  • Se x_C=-1 (C = Baixo):
5 + 7{,}5\cdot(-1) = 5 - 7{,}5 = -2{,}5 < 0 \quad\Rightarrow\quad x_A=-1.
A contribuição conjunta vale
\Delta_{A,C} = x_A(5+7{,}5x_C) = -1\cdot(-2{,}5)=2{,}5.

Passo 6

Comparar as duas opções e concluir a combinação ótima para A e C.
  • Com C= Alto a contribuição (ótima escolha de A) é 12{,}5.
  • Com C= Baixo a contribuição (ótima escolha de A) é 2{,}5.
  • Como 12{,}5>2{,}5, escolher C= Alto é melhor e implica escolher A= Alto (pela análise acima).

Passo 7

Montar a conclusão final de níveis para os três fatores.
  • Já vimos que B= Alto é sempre melhor (porque b>0).
  • A análise de interação levou a C= Alto e então A= Alto.
  • Portanto a configuração ótima é:
    • A= Alto, B= Alto, C= Alto.

Passo 8

Explicação didática e intuitiva sobre por que C tem efeito principal 0,0 mas é decisivo (papel da interação).
  • O efeito principal de C mede a diferença média entre as médias em C=+\!1 e C=-\!1, isto é, média sobre ambos os níveis de A e B. Quando há uma interação forte A\!C, o efeito de C pode ser positivo em um nível de A e negativo em outro; ao fazer a média sobre A esses sinais opostos podem se cancelar, resultando em efeito principal próximo de zero.
  • Num exemplo numérico (usando o modelo com a=5 e ac=7{,}5, e fixando B=+\!1 que adiciona 2{,}5 constante), os quatro médias relativas para combinações de A,C são (sem \mu):
    • A=+\!1,C=+\!1:\; 5 + 7{,}5 = 12{,}5
    • A=+\!1,C=-\!1:\; 5 - 7{,}5 = -2{,}5
    • A=-\!1,C=+\!1:\; -5 - 7{,}5 = -12{,}5
    • A=-\!1,C=-\!1:\; -5 + 7{,}5 = 2{,}5
    • Agora, a média em C=+\!1 é (12{,}5 + (-12{,}5))/2 = 0. A média em C=-\!1 é (-2{,}5 + 2{,}5)/2 = 0. Portanto o efeito principal de C (diferença dessas médias) é 0.
  • Apesar do efeito principal ser zero, a interação A\!C é grande ( E_{AC}=+15,0), ou seja, A se comporta muito diferente dependendo de C. Por isso, para maximizar a resposta é crucial escolher C adequadamente — C determina se devemos colocar A em Alto ou Baixo. Assim C é decisivo para a otimização mesmo tendo efeito principal nulo.

Passo 9

Breve comentário estatístico sobre significância dos efeitos (por que confiar nos números).
  • Uma verificação rápida de significância: dividir cada efeito pelo erro informado \,1,63.
    • A:\; 10{,}0 / 1{,}63 \approx 6{,}13 (forte evidência contra hipótese de efeito nulo).
    • B:\; 5{,}0 / 1{,}63 \approx 3{,}07 (provavelmente significativo).
    • AC:\; 15{,}0 / 1{,}63 \approx 9{,}20 (muito significativo).
    • C:\; 0{,}0 / 1{,}63 = 0 (não significativo como efeito principal).
  • Conclusão estatística: embora o efeito principal de C seja insignificante, a interação AC é altamente significativa; logo um modelo para otimização não pode ignorar C porque sua influência aparece pela interação.

Resposta

A = Alto, B = Alto, C = Alto
O efeito principal de C é 0{,}0 porque os seus impactos em níveis diferentes de A se cancelam (média zero), mas A\!C é grande ( E_{AC}=+15{,}0, razão 15{,}0/1{,}63\approx9{,}20), logo C altera fortemente o efeito de A e é decisivo para encontrar a combinação que maximiza a resistência.

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