Você é o produtor de PCl3, o qual é vendido em barris a uma taxa de P barris por dia. O custo de produção de um barril é dado por:
C=50+0.1 P+9000 / P em dólares por barril
O preço de venda do barril é de . Determine:
a) A taxa de produção diária que resulta no menor custo por barril.

Passo 1

O enunciado diz que o custo por barril é dado por
C(P)=50+0.1P+9000P
onde é a taxa de produção (barris por dia). Queremos achar a taxa diária que torne esse custo por barril o menor possível.
Conteúdo: otimização de funções reais usando derivadas. Vamos precisar de:
1) Calcular a derivada .
2) Igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
3) Verificar que é mínimo (segunda derivada).

Passo 2

  1. Derivada primeira:$$C’§=\frac{d}{dP}\Bigl(50+0.1P+\tfrac{9000}{P}\Bigr)
        =0.1-\frac{9000}{P^2}.$$  
    
  2. Igualar a zero para achar candidato a mínimo: C'(P)=ddPl(50+0.1P+tfrac9000Pr) =0.1-9000P^2
  3. Verificação rápida (segunda derivada):$$C’’§=\frac{d}{dP}\Bigl(0.1-\frac{9000}{P^2}\Bigr)
        =\frac{18000}{P^3}>0\quad\forall P>0,$$  
    
    então é mesmo um mínimo.

Resposta

A taxa de produção diária que minimiza o custo por barril é de 300 barris por dia.

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