Você é o produtor de
, o qual é vendido em barris a uma taxa de P barris por dia. O custo de produção de um barril é dado por:
dólares por barril
O preço de venda do barril é de
. Determine:
a) A taxa de produção diária que resulta no menor custo por barril.
O preço de venda do barril é de
a) A taxa de produção diária que resulta no menor custo por barril.
Passo 1
O enunciado diz que o custo por barril é dado por
onde
Conteúdo: otimização de funções reais usando derivadas. Vamos precisar de:
1) Calcular a derivada
2) Igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
3) Verificar que é mínimo (segunda derivada).
Passo 2
- Derivada primeira:$$C’§=\frac{d}{dP}\Bigl(50+0.1P+\tfrac{9000}{P}\Bigr)
=0.1-\frac{9000}{P^2}.$$
- Igualar a zero para achar candidato a mínimo:
- Verificação rápida (segunda derivada):$$C’’§=\frac{d}{dP}\Bigl(0.1-\frac{9000}{P^2}\Bigr)
então é mesmo um mínimo.=\frac{18000}{P^3}>0\quad\forall P>0,$$
Resposta
A taxa de produção diária que minimiza o custo por barril é de 300 barris por dia.