Um reator CSTR converte um reagente A em um produto B através de uma reação catalítica endotérmica. O catalisador pode ser continuamente injetado no reator e a temperatura do reator pode ser controlada pela injeção de vapor através de uma serpentina. Alguma conversão pode ser obtida somente com o aquecimento, sem a adição de catalisador. Por outro lado, pode-se também obter alguma conversão somente com a adição de catalisador, sem o aquecimento. O produto B pode ser vendido por R$ 50/mol de B. O custo do catalisador (R$/mol da alimentação) é dado pela expressão:
50/mol de B O custo do catalisador (R
onde CC=2+10 XC+20 XC^2 é a fração molar de catalisador. O custo do vapor (R$/mol da alimentação) é dado pela expressão:
XC
onde /mol da alimentação) é dado pela expressão: é a relação de kg de vapor/mol de alimentação. A conversão em termos das quantidades de catalisador e vapor é dada por:
onde
onde é a relação de kg de vapor/mol de alimentação A conversão em termos das quantidades de catalisador e vapor é dada por: é a relação de mol de B/mol de alimentação. Deseja-se saber qual o lucro máximo deste processo produtivo por mol de alimentação.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que num reator CSTR a gente converte A em B usando calor (vapor) e catalisador. O produto B vale R$ 50/mol, o catalisador tem custo
50/mol, o catalisador tem custo (CC = 2 + 10 XC + 20 XC^2) (R (R$/mol de alimentação) e o vapor custa
XB = 0,1 + 0,3XC + 10^-4S - 10^-4XC S (idem). A conversão em B é
A gente quer achar, por mol de alimentação, o e o que maximizam o lucro. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis (cálculo de derivadas parciais e sistema).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o lucro pi = underbrace50,XBreceita ;-; CC ;-; CS por mol de alimentação:
pi = 50l(0,1 + 0,3XC + 10^-4S - 10^-4XC Sr);-;l(2 + 10XC +20XC^2r);-;l(1 +0,003S +2times10^-6S^2r)
Substituindo cada expressão:
pi = 5 +15XC +0,005S -0,005XCS ;-;(3 +10XC +20XC^2 +0,003S +2times10^-6S^2)
Agora simplificamos termo a termo:
  1. boxedpi(XC,S) = 2 +5XC +0,002S ;-;0,005XC S ;-;20XC^2 ;-;2times10^-6S^2 .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Custos somam .
Juntando tudo:
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Passo 3

Pra achar o máximo, igualamos as derivadas parciais a zero.
Derivada em relação a partialpipartial XC = 5 ;-;0,005S;-;40XC stackrel!=;0 :
partialpipartial S = 0,002 ;-;0,005XC ;-;4times10^-6S stackrel!=;0
Derivada em relação a :

Passo 4

Resolvendo o sistema
5 -0,005S -40XC =0, 0,002 -0,005XC -4times10^-6S =0,
fazemos:
(1) 0,002 -0,005l(0,125 -0,000125Sr) -4times10^-6S =0
(2) Substituindo em 3,375times10^-6,S = 0,001375 Longrightarrow S approx 407,41 :
XC = 0,125 -0,000125times407,41 approx 0,07407
Isso dá, após simplificar,
Então

Passo 5

Só falta confirmar que é máximo (Hessiano com determinante positivo e concavidade) e calcular o lucro. Substituindo em pimaxapprox 2,59 (R$ por mol de alimentação) :
çã

Resposta

Lucro máximo ≃ R$ 2,59 por mol de alimentação, obtido em

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