Um reator CSTR converte um reagente A em um produto B através de uma reação catalítica endotérmica. O catalisador pode ser continuamente injetado no reator e a temperatura do reator pode ser controlada pela injeção de vapor através de uma serpentina. Alguma conversão pode ser obtida somente com o aquecimento, sem a adição de catalisador. Por outro lado, pode-se também obter alguma conversão somente com a adição de catalisador, sem o aquecimento. O produto B pode ser vendido por R$ 50/mol de B. O custo do catalisador (R$/mol da alimentação) é dado pela expressão:
onde é a fração molar de catalisador. O custo do vapor (R$/mol da alimentação) é dado pela expressão:
onde é a relação de kg de vapor/mol de alimentação. A conversão em termos das quantidades de catalisador e vapor é dada por:
onde é a relação de mol de B/mol de alimentação. Deseja-se saber qual o lucro máximo deste processo produtivo por mol de alimentação.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que num reator CSTR a gente converte A em B usando calor (vapor) e catalisador. O produto B vale R$ 50/mol, o catalisador tem custo (R$/mol de alimentação) e o vapor custa (idem). A conversão em B é
A gente quer achar, por mol de alimentação, o e o que maximizam o lucro. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis (cálculo de derivadas parciais e sistema).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o lucro por mol de alimentação:
fazemos:
(1) 0,002 -0,005l(0,125 -0,000125Sr) -4times10^-6S =0
(2) Substituindo em 3,375times10^-6,S = 0,001375 Longrightarrow S approx 407,41 :
XC = 0,125 -0,000125times407,41 approx 0,07407
Isso dá, após simplificar,
Então
Passo 5
Só falta confirmar que é máximo (Hessiano com determinante positivo e concavidade) e calcular o lucro. Substituindo em pimaxapprox 2,59 (R$ por mol de alimentação) :
çã
Resposta
Lucro máximo ≃ R$ 2,59 por mol de alimentação, obtido em