Uma o.p.u. se propaga num meio em que varepsilon_{\mathrm{r}}=1,4 ; \mu_{\mathrm{r}}=1 e (\sigma / \omega \varepsilon)=10^{-4}, com \mathrm{f}=150 \mathrm{MHz}. Qual deve ser o seu deslocamento através deste meio para que:
b) sua fase varie de 90^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma quantidade clara:
  • Dados:
    • \varepsilon_{\mathrm{r}} = 1,4.
    • \mu_{\mathrm{r}} = 1.
    • \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}=10^{-4}.
    • f = 150\\ \mathrm{MHz}.
  • O que é pedido (parte b):
    • O deslocamento z que a onda deve percorrer no meio para que a sua fase varie 90^\circ (ou seja, \Delta\varphi = 90^\circ).

Passo 2

Entender a relação entre fase e constante de propagação:
  • A variação de fase ao longo de uma distância z é dada por
\Delta\varphi = \beta\, z,
onde \beta é a constante de fase (também chamada de constante de propagação imaginária da constante complexa \gamma=\alpha+j\beta). Queremos \Delta\varphi = 90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}. Assim,
z = \dfrac{\Delta\varphi}{\beta} = \dfrac{\pi/2}{\beta}.
Logo, o problema reduz-se a calcular \beta para o meio dado.

Passo 3

Fórmula geral para meio com perda elétrica pequena e significado das variáveis:
  • Definir \chi \equiv \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}.Aqui \sigma é a condutividade, \omega=2\pi f e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}.
  • A constante complexa de propagação é
\gamma = \alpha + j\beta = j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\,\sqrt{1-j\chi}.
  • Para meios de baixa perda, isto é \chi \ll 1 (aqui \chi=10^{-4}, muito pequeno), pode-se usar a expansão em série para \sqrt{1-j\chi}. Expandindo:
\sqrt{1-j\chi}\approx 1 - \dfrac{j\chi}{2} - \dfrac{\chi^2}{8} + \cdots.
Multiplicando por j\omega\sqrt{\mu\varepsilon} e separando parte real e imaginária obtemos, até ordem \chi^2,
\gamma \approx \omega\sqrt{\mu\varepsilon}\left(\dfrac{\chi}{2} + j\Big(1-\dfrac{\chi^2}{8}\Big)\right).
Dessa forma, a constante de fase é aproximadamente
\beta \approx \omega\sqrt{\mu\varepsilon}\left(1-\dfrac{\chi^2}{8}\right).
Como \chi^2/8 será extremamente pequeno para \chi=10^{-4}, podemos com segurança aproximar
\beta \approx \omega\sqrt{\mu\varepsilon}.

Passo 4

Expressar \beta em termos de f e constantes conhecidas e calcular numericamente:
  • Substituir \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}} e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}. Usando c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} obtém-se
\beta \approx \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}} = \dfrac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}\mu_{\mathrm{r}}}.
Com \mu_{\mathrm{r}}=1 e \omega=2\pi f,
\beta \approx \dfrac{2\pi f}{c}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
  • Substituir números: f=150\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}, c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \varepsilon_{\mathrm{r}}=1{,}4.
    Calcule primeiro o fator \dfrac{2\pi f}{c}:
\dfrac{2\pi f}{c}=\dfrac{2\pi\cdot150\times10^{6}}{3{,}0\times10^{8}}=2\pi\cdot0{,}5=\pi.
Assim
\beta \approx \pi\sqrt{1{,}4}.
Agora numéricamente \sqrt{1{,}4}\approx1{,}183215956, logo
\beta \approx \pi\times1{,}183215956\approx3{,}715\\ \text{rad/m}.

Passo 5

Calcular z a partir de \Delta\varphi=\pi/2:
  • Usando z=\dfrac{\pi/2}{\beta},
z \approx \dfrac{\pi/2}{\pi\sqrt{1{,}4}}=\dfrac{1}{2\sqrt{1{,}4}}.
  • Numericamente,
z \approx \dfrac{0{,}5}{1{,}183215956}\approx0{,}4226\\ \mathrm{m}.
  • Observação sobre o efeito da perda: como \chi=10^{-4}, a correção multiplicativa (1-\chi^2/8) em \beta difere de 1 em aproximadamente 1{,}25\times10^{-9}, ou seja, desprezível; portanto o valor acima é essencialmente exato para as necessidades da prova.

Resposta

z \approx 0{,}4226\\ \mathrm{m} (aproximadamente 42{,}3\\ \mathrm{cm})

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