Quais das proporsições abaixo são verdadeiras?(obs.: Uma proposição matemática é uma sentença ou declaração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa mas não ambas simultaneamente)
\mathbb{N} \in \mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado apresenta a proposição \mathbb{N} \in \mathbb{Q}
e pergunta se ela é verdadeira. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em especial a diferença entre a relação de pertencimento \in e a relação de inclusão de conjuntos \subset.

Passo 2

Definimos \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}
como o conjunto dos números naturais, e \mathbb{Q} = \bigl\{\tfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},\,q\in\mathbb{N}^*\bigr\}
como o conjunto dos números racionais.
A notação x\in A significa “ x é um elemento de A”.

Passo 3

Para que \mathbb{N}\in\mathbb{Q} fosse verdade, o conjunto \mathbb{N} precisaria ser, em si, um elemento de \mathbb{Q}. Mas os elementos de \mathbb{Q} são números racionais (cada elemento tem a forma \tfrac{p}{q}), não conjuntos. Como \mathbb{N} é um conjunto e não um número racional, não pode pertencer a \mathbb{Q}.

Passo 4

Em vez de escrever \mathbb{N}\in\mathbb{Q}, a afirmação correta é \mathbb{N}\subset\mathbb{Q},
pois todo número natural é um número racional, mas o conjunto \mathbb{N} não é um elemento de \mathbb{Q}.

Resposta

A proposição \mathbb{N} \in \mathbb{Q} é falsa.

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