Quais das proporsições abaixo são verdadeiras?(obs.: Uma proposição matemática é uma sentença ou declaração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa mas não ambas simultaneamente) 0,47474747 \cdots \in \mathbb{Q}
Passo 1
O enunciado apresenta a proposição
0,47474747\cdots \in \mathbb{Q}.
O conteúdo é a definição de número racional e a conversão de decimal periódico em fração. Por definição, \mathbb{Q}=\bigl\{\tfrac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\,b\neq0\bigr\},
e todo decimal periódico pode ser expresso nessa forma.
Passo 2
Definimos
x = 0,\overline{47}.
Como o período tem dois dígitos, multiplicamos ambos os lados por 100 para deslocar a parte periódica:
100x = 47,\overline{47}.
Passo 3
Subtraindo a expressão original da multiplicada para eliminar o período, temos
100x - x = 47,\overline{47} - 0,\overline{47}
o que dá
99x = 47
e, portanto,
x = \frac{47}{99}.
Como \frac{47}{99} é uma fração de inteiros, segue que x\in\mathbb{Q}.