Proposição 1
No quadrilátero
os lados opostos
e
são congruentes e paralelos se, e somente se, as diagonais de
se intersectam num ponto que é o ponto médio de ambas.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
. Ele afirma um fato do tipo “se e somente se” (bicondicional). Então temos duas perguntas a responder:
- Direção 1 (=>): Se os lados opostos
e são congruentes e paralelos, provar que as diagonais do quadrilátero se intersectam num ponto que é ponto médio de ambas as diagonais. - Direção 2 (<=): Se as diagonais se intersectam num ponto que é ponto médio de ambas, provar que os lados opostos
e são congruentes e paralelos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os segmentos
e são congruentes (têm a mesma medida). - Os segmentos
e são paralelos. - Queremos relacionar isso com o ponto de interseção das diagonais
e (mostrar que esse ponto é o ponto médio de cada diagonal).
Passo 2
Vamos escolher uma representação prática e poderosa: coordenadas (ou vetores de posição). Explico devagar porque isso é muito útil em provas geométricas.
- Representar um ponto
por um vetor de posição significa que, se colocarmos um sistema de coordenadas, é o par de coordenadas de . Não precisamos escolher números concretos; trabalhamos com as letras . - O vetor que representa o segmento dirigido de
para é . Isso é uma regra: o vetor relativo é destino menos origem. - Dois segmentos são paralelos quando os vetores correspondentes são múltiplos um do outro:
para algum escalar . - Dois segmentos são congruentes (mesmo comprimento) quando os módulos (normas) dos vetores são iguais:
. - O ponto médio entre
e tem vetor de posição . Isso é apenas a regra do ponto médio em coordenadas.
Com essas ferramentas, a prova fica um pouco de álgebra vetorial básica: manipular somas e multiplicações por escalares.
Passo 3
Provar Direção 1: assumir
e
são paralelos e congruentes e deduzir que as diagonais se bissetam mutuamente.
- Pelo paralelismo, existe um escalar
tal que
- Pela congruência, as normas desses vetores são iguais:
- A igualdade de normas combinada com a relação de múltiplo implica
. Explico: se então . Aqui dá . - Assim
ou .
Trataremos os dois casos e veremos que ambos levam à mesma conclusão útil.
- Se
, então
Rearranjando,
- Se
, então
e rearranjando obtemos novamente
Logo, em ambos os casos vale
Passo 4
Interpretar a relação
em termos de pontos médios.
- O ponto médio de
e tem vetor de posição . - O ponto médio de
e tem vetor de posição . - Da igualdade
segue imediatamente
Isto significa que o ponto médio de
e o ponto médio de
coincidem; ou seja, as diagonais
e
têm um ponto em comum que é o ponto médio de ambas. Portanto as diagonais se intersectam num ponto que é ponto médio de ambas — prova da direção
.
Passo 5
Provar Direção 2 (recíproca): assumir que as diagonais se intersectam num ponto que é o ponto médio de ambas e deduzir que
e
são congruentes e paralelos.
- Seja
o ponto de interseção das diagonais, e seja ponto médio de e de . Em vetores:
- Igualando as duas expressões e multiplicando por
obtemos
- Rearranjando essa igualdade,
- Essa última igualdade diz que o vetor de
para é exatamente igual ao vetor de para . Dois vetores iguais têm a mesma direção (portanto os segmentos correspondentes são paralelos) e têm o mesmo comprimento (portanto os segmentos são congruentes).
Logo
e
são paralelos e congruentes — prova da direção
.
Passo 6
Resumo intuitivo e comentário prático (para a prova):
- A ideia-chave é trabalhar com vetores de posição ou coordenadas: o ponto médio traduz-se pela média das posições dos extremos.
- A condição “segmentos paralelos e congruentes” transforma-se numa relação vetorial simples que leva a
, e isso diz que os dois pontos médios coincidem. - O raciocínio contrário é exatamente o mesmo ao contrário: ponto médio comum ⇒ soma das posições igual ⇒ vetores dos segmentos iguais ⇒ paralelismo e igualdade de comprimento.
Força aí: essa prova é direta quando se acostuma a pensar em vetores/posições e no ponto médio como a média das posições — é uma ferramenta que aparece muito em geometria analítica e em provas rápidas.
Resposta
A proposição é verdadeira.