Proposição 1

No quadrilátero A B D C os lados opostos A C e B D são congruentes e paralelos se, e somente se, as diagonais de A B D C se intersectam num ponto que é o ponto médio de ambas.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero A B D C. Ele afirma um fato do tipo “se e somente se” (bicondicional). Então temos duas perguntas a responder:
  • Direção 1 (=>): Se os lados opostos A C e B D são congruentes e paralelos, provar que as diagonais do quadrilátero se intersectam num ponto que é ponto médio de ambas as diagonais.
  • Direção 2 (<=): Se as diagonais se intersectam num ponto que é ponto médio de ambas, provar que os lados opostos A C e B D são congruentes e paralelos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os segmentos A C e B D são congruentes (têm a mesma medida).
  • Os segmentos A C e B D são paralelos.
  • Queremos relacionar isso com o ponto de interseção das diagonais A D e B C (mostrar que esse ponto é o ponto médio de cada diagonal).

Passo 2

Vamos escolher uma representação prática e poderosa: coordenadas (ou vetores de posição). Explico devagar porque isso é muito útil em provas geométricas.
  • Representar um ponto X por um vetor de posição \vec{X} significa que, se colocarmos um sistema de coordenadas, \vec{X} é o par de coordenadas de X. Não precisamos escolher números concretos; trabalhamos com as letras \vec{A},\vec{B},\vec{C},\vec{D}.
  • O vetor que representa o segmento dirigido de A para C é \vec{C}-\vec{A}. Isso é uma regra: o vetor relativo é destino menos origem.
  • Dois segmentos são paralelos quando os vetores correspondentes são múltiplos um do outro: \vec{C}-\vec{A} = t(\vec{D}-\vec{B}) para algum escalar t.
  • Dois segmentos são congruentes (mesmo comprimento) quando os módulos (normas) dos vetores são iguais: |\vec{C}-\vec{A}| = |\vec{D}-\vec{B}|.
  • O ponto médio entre X e Y tem vetor de posição \dfrac{\vec{X}+\vec{Y}}{2}. Isso é apenas a regra do ponto médio em coordenadas.
Com essas ferramentas, a prova fica um pouco de álgebra vetorial básica: manipular somas e multiplicações por escalares.

Passo 3

Provar Direção 1: assumir A C e B D são paralelos e congruentes e deduzir que as diagonais se bissetam mutuamente.
  • Pelo paralelismo, existe um escalar t tal que
\vec{C}-\vec{A}=t(\vec{D}-\vec{B}).
  • Pela congruência, as normas desses vetores são iguais:
|\vec{C}-\vec{A}|=|\vec{D}-\vec{B}|.
  • A igualdade de normas combinada com a relação de múltiplo implica |t|=1. Explico: se \vec{u}=t\vec{v} então |\vec{u}|=|t|\,|\vec{v}|. Aqui |\vec{u}|=|\vec{v}| |t|=1.
  • Assim t=1 ou t=-1.
Trataremos os dois casos e veremos que ambos levam à mesma conclusão útil.
  • Se t=1, então
\vec{C}-\vec{A}=\vec{D}-\vec{B}.
Rearranjando,
\vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C}.
  • Se t=-1, então
\vec{C}-\vec{A}=-(\vec{D}-\vec{B}) \quad\Rightarrow\quad \vec{C}-\vec{A}=\vec{B}-\vec{D},
e rearranjando obtemos novamente
\vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C}.
Logo, em ambos os casos vale
\vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C}.

Passo 4

Interpretar a relação \vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C} em termos de pontos médios.
  • O ponto médio de A e D tem vetor de posição \dfrac{\vec{A}+\vec{D}}{2}.
  • O ponto médio de B e C tem vetor de posição \dfrac{\vec{B}+\vec{C}}{2}.
  • Da igualdade \vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C} segue imediatamente
\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2}=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}.
Isto significa que o ponto médio de A D e o ponto médio de B C coincidem; ou seja, as diagonais A D e B C têm um ponto em comum que é o ponto médio de ambas. Portanto as diagonais se intersectam num ponto que é ponto médio de ambas — prova da direção (\Rightarrow).

Passo 5

Provar Direção 2 (recíproca): assumir que as diagonais se intersectam num ponto que é o ponto médio de ambas e deduzir que A C e B D são congruentes e paralelos.
  • Seja M o ponto de interseção das diagonais, e seja M ponto médio de A D e de B C. Em vetores:
\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2}=\vec{M}=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}.
  • Igualando as duas expressões e multiplicando por 2 obtemos
\vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C}.
  • Rearranjando essa igualdade,
\vec{C}-\vec{A}=\vec{D}-\vec{B}.
  • Essa última igualdade diz que o vetor de A para C é exatamente igual ao vetor de B para D. Dois vetores iguais têm a mesma direção (portanto os segmentos correspondentes são paralelos) e têm o mesmo comprimento (portanto os segmentos são congruentes).
Logo A C e B D são paralelos e congruentes — prova da direção (\Leftarrow).

Passo 6

Resumo intuitivo e comentário prático (para a prova):
  • A ideia-chave é trabalhar com vetores de posição ou coordenadas: o ponto médio traduz-se pela média das posições dos extremos.
  • A condição “segmentos paralelos e congruentes” transforma-se numa relação vetorial simples que leva a \vec{A}+\vec{D}=\vec{B}+\vec{C}, e isso diz que os dois pontos médios coincidem.
  • O raciocínio contrário é exatamente o mesmo ao contrário: ponto médio comum ⇒ soma das posições igual ⇒ vetores dos segmentos iguais ⇒ paralelismo e igualdade de comprimento.
Força aí: essa prova é direta quando se acostuma a pensar em vetores/posições e no ponto médio como a média das posições — é uma ferramenta que aparece muito em geometria analítica e em provas rápidas.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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