Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por
, em torno do eixo
;
Obtido com a rotação da região limitada por
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do plano limitada por:
-
, -
, -
.
Informações relevantes que temos (retiradas do enunciado):
- As curvas são
(reta) e (parábola). - Há também a reta vertical
que limita a região. - O eixo de rotação é o eixo
. - O objetivo: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa região ao girá-la em torno do eixo
.
Passo 2
Determinar os limites em
da região (ou seja, onde as duas curvas se interceptam e qual intervalo de
é relevante considerando
).
Para achar as interseções entre
e
resolvo
Colocando tudo em um lado:
Fatorando:
As raízes são
e
.
Como a região inclui a reta
, a porção relevante fica entre
e
(pois
está à esquerda de
e não faz parte da região delimitada por
). Portanto os limites em
para a integração serão
e
.
Passo 3
Identificar qual curva é a “superior” (maior
) e qual é a “inferior” no intervalo
, pois isso define os raios externos e internos ao girar em torno do eixo
.
Considere a diferença
As raízes dessa diferença são exatamente
e
; entre as raízes (ou seja, para
) a diferença é positiva. Em particular, em
temos
. Também é fácil ver numericamente em
:
e
, logo a reta está acima da parábola.
Conclusão: para
a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Escolher o método de cálculo e escrever a fórmula utilizada, explicando bem o que cada símbolo significa.
Aqui é natural usar o método dos discos/aros (washers), porque estamos girando em torno do eixo
e as funções estão expressas como
. A fórmula para o volume por washers é:
onde:
-
é o volume procurado; -
e são os limites em (aqui e ); -
é o raio externo do disco em função de (distância do eixo até a curva superior); -
é o raio interno do disco em função de (distância do eixo até a curva inferior).
No nosso caso, as distâncias ao eixo
são simplesmente as próprias funções
(pois o eixo
é
e as
são não-negativas no intervalo):
Passo 5
Montar a integral do volume substituindo
,
e os limites:
Explico cada termo:
é o quadrado do raio externo (área do círculo externo) e
é o quadrado do raio interno (área do buraco). A diferença dá a área do anel transversal em cada
; integrar dá o volume, multiplicando por
.
Passo 6
Simplificar o integrando e calcular a antiderivada passo a passo.
Expando
:
Assim o integrando fica
Agora calculo a primitiva (antiderivada) termo a termo:
Somando:
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
e multiplicar por
.
Avalio em
:
Calculo as partes:
Então
Para somar os termos fracionários, passo para denominador comum
:
Somando:
Avaliar em
dá
. Portanto a integral definida é
.
Multiplicando por
, o volume é