Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por y=x+2, y=x^{2}, x=0, em torno do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do plano limitada por:
  • y = x+2,
  • y = x^{2},
  • x = 0.
Informações relevantes que temos (retiradas do enunciado):
  • As curvas são y=x+2 (reta) e y=x^{2} (parábola).
  • Há também a reta vertical x=0 que limita a região.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • O objetivo: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa região ao girá-la em torno do eixo x.

Passo 2

Determinar os limites em x da região (ou seja, onde as duas curvas se interceptam e qual intervalo de x é relevante considerando x=0).
Para achar as interseções entre y=x+2 e y=x^{2} resolvo
x^{2}=x+2.
Colocando tudo em um lado:
x^{2}-x-2=0.
Fatorando:
(x-2)(x+1)=0.
As raízes são x=2 e x=-1.
Como a região inclui a reta x=0, a porção relevante fica entre x=0 e x=2 (pois -1 está à esquerda de x=0 e não faz parte da região delimitada por x=0). Portanto os limites em x para a integração serão a=0 e b=2.

Passo 3

Identificar qual curva é a “superior” (maior y) e qual é a “inferior” no intervalo [0,2], pois isso define os raios externos e internos ao girar em torno do eixo x.
Considere a diferença
(x+2)-x^{2}=-x^{2}+x+2.
As raízes dessa diferença são exatamente x=-1 e x=2; entre as raízes (ou seja, para -1<x<2) a diferença é positiva. Em particular, em [0,2) temos (x+2)>x^{2}. Também é fácil ver numericamente em x=1: 1+2=3 e 1^{2}=1, logo a reta está acima da parábola.
Conclusão: para x\in[0,2] a função superior é y_{\text{sup}}(x)=x+2 e a inferior é y_{\text{inf}}(x)=x^{2}.

Passo 4

Escolher o método de cálculo e escrever a fórmula utilizada, explicando bem o que cada símbolo significa.
Aqui é natural usar o método dos discos/aros (washers), porque estamos girando em torno do eixo x e as funções estão expressas como y=f(x). A fórmula para o volume por washers é:
V=\pi\int_{a}^{b}\Bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\Bigr)\,dx,
onde:
  • V é o volume procurado;
  • a e b são os limites em x (aqui a=0 e b=2);
  • R(x) é o raio externo do disco em função de x (distância do eixo x até a curva superior);
  • r(x) é o raio interno do disco em função de x (distância do eixo x até a curva inferior).
No nosso caso, as distâncias ao eixo x são simplesmente as próprias funções y (pois o eixo x é y=0 e as y são não-negativas no intervalo):
R(x)=x+2,\qquad r(x)=x^{2}.

Passo 5

Montar a integral do volume substituindo R(x), r(x) e os limites:
V=\pi\int_{0}^{2}\Bigl((x+2)^{2}-(x^{2})^{2}\Bigr)\,dx.
Explico cada termo: (x+2)^{2} é o quadrado do raio externo (área do círculo externo) e (x^{2})^{2}=x^{4} é o quadrado do raio interno (área do buraco). A diferença dá a área do anel transversal em cada x; integrar dá o volume, multiplicando por \pi.

Passo 6

Simplificar o integrando e calcular a antiderivada passo a passo.
Expando (x+2)^{2}:
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
Assim o integrando fica
(x+2)^{2}-x^{4}= -x^{4}+x^{2}+4x+4.
Agora calculo a primitiva (antiderivada) termo a termo:
\int -x^{4}\,dx = -\frac{x^{5}}{5},\qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int 4x\,dx = 2x^{2},\qquad \int 4\,dx = 4x.
Somando:
\int\Bigl(-x^{4}+x^{2}+4x+4\Bigr)\,dx = -\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+4x + C.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 2 e multiplicar por \pi.
Avalio em x=2:
-\frac{2^{5}}{5}+\frac{2^{3}}{3}+2\cdot 2^{2}+4\cdot 2 = -\frac{32}{5}+\frac{8}{3}+2\cdot 4+8.
Calculo as partes:
2\cdot 4=8,\qquad 8+8=16.
Então
-\frac{32}{5}+\frac{8}{3}+16.
Para somar os termos fracionários, passo para denominador comum 15:
-\frac{32}{5}=-\frac{96}{15},\qquad \frac{8}{3}=\frac{40}{15},\qquad 16=\frac{240}{15}.
Somando:
-\frac{96}{15}+\frac{40}{15}+\frac{240}{15}=\frac{-96+40+240}{15}=\frac{184}{15}.
Avaliar em x=0 0. Portanto a integral definida é \dfrac{184}{15}.
Multiplicando por \pi, o volume é
V=\pi\cdot \frac{184}{15}=\frac{184}{15}\pi.

Resposta

\displaystyle V=\frac{184}{15}\pi

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