Exemplo 1.4.10: Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=3 e o ângulo entre eles é \frac{2 \pi}{3}. Calcule:
(a) \vec{u} \cdot \vec{v}
(b) \|\vec{u}+\vec{v}\|
(c) \|\vec{u}-\vec{v}\|

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} com \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3 e ângulo entre eles \theta = \tfrac{2\pi}{3}. Precisamos calcular:
(a) o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v},
(b) a norma de \vec{u}+\vec{v},
(c) a norma de \vec{u}-\vec{v}.
Para isso, vamos usar \displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta
e \displaystyle \|\vec{a}\pm\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2\pm2\,\vec{a}\cdot\vec{b}.

Passo 2

Para o produto escalar temos \vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times 3 \times \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr).
Como \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=-\tfrac12, segue
\vec{u}\cdot\vec{v} = 6 \times \bigl(-\tfrac12\bigr) = -3.

Passo 3

Para \|\vec{u}+\vec{v}\| usamos
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = 2^2 + 3^2 + 2\cdot(-3) = 4 + 9 - 6 = 7.
Logo \|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{7}.

Passo 4

Para \|\vec{u}-\vec{v}\| usamos
\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 + 9 - 2\cdot(-3) = 13 + 6 = 19.
Logo \|\vec{u}-\vec{v}\| = \sqrt{19}.

Resposta

(a) -3
(b) \sqrt{7}
(c) \sqrt{19}

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