Quais das proposições a seguir são tautologias, quais são contradições?
(p \wedge \neg q) \leftrightarrow(p \rightarrow q)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a proposição
(p \wedge \neg q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)
é uma tautologia (sempre verdadeira) ou uma contradição (sempre falsa). Vamos usar tabela-verdade, que é o método padrão em lógica proposicional para testar todas as combinações de valores de verdade de p e q.

Passo 2

Montamos a tabela-verdade listando todas as combinações de (p,q) e calculando os valores de \;p \wedge \neg q\; e de \;p \rightarrow q\;:
\begin{array}{cc|c|c} p & q & p \wedge \neg q & p \rightarrow q \\\ \hline \top & \top & \top \wedge \neg \top = \top \wedge \bot = \bot & \neg \top \lor \top = \bot \lor \top = \top \\\ \top & \bot & \top \wedge \neg \bot = \top \wedge \top = \top & \neg \top \lor \bot = \bot \lor \bot = \bot \\\ \bot & \top & \bot \wedge \neg \top = \bot \wedge \bot = \bot & \neg \bot \lor \top = \top \lor \top = \top \\\ \bot & \bot & \bot \wedge \neg \bot = \bot \wedge \top = \bot & \neg \bot \lor \bot = \top \lor \bot = \top \end{array}

Passo 3

Agora avaliamos o bicondicional (p \wedge \neg q)\leftrightarrow(p\rightarrow q) em cada linha, que é verdadeiro quando os dois lados têm o mesmo valor e falso caso contrário:
\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \wedge \neg q & p \rightarrow q & (p\wedge\neg q)\leftrightarrow(p\rightarrow q)\\hline \top & \top & \bot & \top & \bot\\\ \top & \bot & \top & \bot & \bot\\\ \bot & \top & \bot & \top & \bot\\\ \bot & \bot & \bot & \top & \bot \end{array}
Em todas as quatro linhas o bicondicional é \bot.

Passo 4

Como a fórmula é falsa em todas as oito avaliações possíveis (na verdade são quatro combinações de p e q), ela nunca é verdadeira. Portanto trata-se de uma contradição.

Resposta

A proposição \;(p \wedge \neg q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)\; é uma contradição.

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