Uma tubulaçâo de aço carbono (condutividade térmica: 50 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) )) com diâmetro de 6 in sch 40 (diâmetro externo: 6,625 in, espessura: 0,280 in) transporta vapor saturado a 280^{\circ} \mathrm{C} ao longo de 50 m . Esta tubulação foi revestida por uma camada externa de 50 mm de isolamento térmico (condutividade térmica: 0,1 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ), emissividade da superficie: 0,1 ). O ar ambiente e as vizinhanças estão associados a uma temperatura média de 30^{\circ} \mathrm{C} e a linha está exposta a uma corrente de ar transversal de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Visando avaliar possíveis ganhos referentes à substituição do isolamento, estimar o custo mensal de operação contínua da linha, considerando a perda de vapor por condensação em função da transferência de calor para o ambiente. Na sua análise, considerar a transferência de calor para o ambiente por radiaçăo e convecçăo forçada. O valor do coeficiente de convecção no interior da tubulação pode ser estimado como 5000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Nos cálculos econômicos, o preço do vapor pode ser considerado como US$20 por tonelada, associado a um calor de vaporização de 1531 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.
Table 1: Propriedades fisicas:
\captionsetup{labelformat=empty}
Propriedade Isopropanol Therminol Ar
Vapor
saturado a
280^{\circ} \mathrm{C}
Massa especifica \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) 732 941 1,1 34,1
Capacidade térmica (\mathrm{J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})) 3370 1908 1008 4824
Viscosidade (\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s}) 0,50 \cdot 10^{-3} 2,42 \cdot 10^{-3} 200 \cdot 10^{-7} 18,9 \cdot 10^{-6}
Condutividade térmica (\mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) 0,13 0,11 0,029 0,061

Passo 1

Vou listar claramente os dados do enunciado (já convertendo as unidades para o SI quando necessário) e o que é pedido.
  • Comprimento da linha: \,L=50\\ \mathrm{m}.
  • Vapor saturado: \,T_{\text{vapor}}=280^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente: \,T_{\text{amb}}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Tubulação: “6 in sch 40” com diâmetro externo \,D_{\text{pipe,ext}}=6{,}625\\ \mathrm{in} e espessura \,t=0{,}280\\ \mathrm{in}.
  • Isolamento externo: espessura \,t_{\text{ins}}=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}, condutividade térmica \,k_{\text{ins}}=0{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, emissividade \,\varepsilon=0{,}1.
  • Tubo (aço carbono): condutividade térmica \,k_{\text{steel}}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Ar em movimento transversal: velocidade \,U=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Coeficiente convectivo interno estimado: \,h_i=5000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Propriedades do ar (retiradas da tabela): densidade \,\rho_{\text{ar}}=1{,}1\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade dinâmica \,\mu_{\text{ar}}=200\cdot10^{-7}\\ \mathrm{Pa\cdot s}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, condutividade \,k_{\text{ar}}=0{,}029\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, capacidade térmica \,c_p=1008\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Preço do vapor: \$20 por tonelada de vapor condensado.
  • Calor latente: \,L_v=1531\\ \mathrm{kJ/kg}=1{,}531\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
O objetivo: estimar a perda de vapor por condensação (massa por mês) causada pela troca de calor para o ambiente (convecção forçada + radiação) e o custo mensal correspondente, supondo operação contínua (24 h/dia, 30 dias/mês).

Passo 2

Converter as dimensões da tubulação para o SI e calcular raios e áreas relevantes.
  • Conversão polegadas para metros: 1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do tubo:
D_{\text{pipe,ext}} = 6{,}625\\ \mathrm{in}\times0{,}0254 = 0{,}168275\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do tubo:
t = 0{,}280\\ \mathrm{in}\times0{,}0254 = 0{,}007112\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do tubo:
D_{\text{pipe,int}} = D_{\text{pipe,ext}} - 2t = 0{,}168275 - 2(0{,}007112) = 0{,}154051\\ \mathrm{m}.
  • Raios:
r_{\text{int}} = \frac{D_{\text{pipe,int}}}{2}=0{,}0770255\\ \mathrm{m},\qquad r_{\text{pipe,ext}}=\frac{D_{\text{pipe,ext}}}{2}=0{,}0841375\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo com isolamento:
r_{\text{ins,ext}} = r_{\text{pipe,ext}}+t_{\text{ins}} = 0{,}0841375+0{,}05 = 0{,}1341375\\ \mathrm{m}.
  • Áreas (superfícies de troca relevantes, para o comprimento L):
A_i = \pi D_{\text{pipe,int}} L = \pi(0{,}154051)(50)\approx 24{,}195\\ \mathrm{m^2},
A_{\text{ext}} = \pi(2 r_{\text{ins,ext}}) L = \pi(0{,}268275)(50)\approx 42{,}146\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Montar o circuito térmico e escrever as expressões das resistências térmicas:
O fluxo de calor total (estado estacionário) é
Q = \frac{T_{\text{vapor}}-T_{\text{amb}}}{R_{\text{tot}}},
onde a resistência total
R_{\text{tot}} = R_i + R_{\text{steel}} + R_{\text{ins}} + R_{\text{ext}}.
As resistências são:
  • resistência convectiva interna:
R_i = \frac{1}{h_i A_i}.
  • resistência de condução no aço (cilíndrica):
R_{\text{steel}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{pipe,ext}}}{r_{\text{int}}}\right)}{2\pi k_{\text{steel}} L}.
  • resistência de condução no isolamento (cilíndrica):
R_{\text{ins}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{ins,ext}}}{r_{\text{pipe,ext}}}\right)}{2\pi k_{\text{ins}} L}.
  • resistência externa combinada (convecção + radiação), usando um coeficiente convectivo externo h_{\text{conv}} e um coeficiente radiativo linearizado h_{\text{rad}}:
h_{\text{ext}} = h_{\text{conv}} + h_{\text{rad}},\qquad R_{\text{ext}}=\frac{1}{h_{\text{ext}} A_{\text{ext}}}.
Vou calcular cada termo numericamente. Também vou estimar h_{\text{conv}} por correlação para escoamento transversal sobre cilindro e h_{\text{rad}} por linearização radiativa.

Passo 4

Calcular R_i (resistência convectiva interna):
R_i = \frac{1}{h_i A_i} = \frac{1}{5000\cdot 24{,}195}\approx 8{,}26\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.
Pequeníssima — o interior oferece pouca resistência comparada ao isolamento.

Passo 5

Calcular R_{\text{steel}} (condução pelo tubo de aço):
\ln\!\left(\frac{r_{\text{pipe,ext}}}{r_{\text{int}}}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}0841375}{0{,}0770255}\right)=\ln(1{,}0929)\approx 0{,}08888.
R_{\text{steel}}=\frac{0{,}08888}{2\pi(50)(50)}=\frac{0{,}08888}{15707{,}96}\approx 5{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.
Também muito pequena.

Passo 6

Calcular R_{\text{ins}} (condução através do isolamento):
\ln\!\left(\frac{r_{\text{ins,ext}}}{r_{\text{pipe,ext}}}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}1341375}{0{,}0841375}\right)=\ln(1{,}5947)\approx 0{,}466.
R_{\text{ins}}=\frac{0{,}466}{2\pi(0{,}1)(50)}=\frac{0{,}466}{31{,}4159}\approx 0{,}01484\\ \mathrm{K/W}.
Esta é a resistência dominante na cadeia.

Passo 7

Estimativa do coeficiente convectivo externo h_{\text{conv}} (escoamento transversal sobre cilindro).
Usarei a correlação de Churchill–Bernstein para o número de Nusselt médio em escoamento transversal sobre cilindro:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}{\left[1+(0{,}4/\mathrm{Pr})^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\frac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Onde:
\mathrm{Re}_D=\frac{U D_{\text{ext,ins}}}{\nu},\qquad \nu=\frac{\mu}{\rho},\qquad \mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k_{\text{ar}}}.
Usando D_{\text{ext,ins}}=2 r_{\text{ins,ext}}=0{,}268275\\ \mathrm{m},
\nu=\frac{2{,}0\times10^{-5}}{1{,}1}=1{,}818\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_D=\frac{2{,}0\cdot0{,}268275}{1{,}818\times10^{-5}}\approx 2{,}95\times10^{4}.
\mathrm{Pr}=\frac{1008\cdot2{,}0\times10^{-5}}{0{,}029}\approx 0{,}695.
Agora a correlação dá:
  • \mathrm{Re}_D^{1/2}\approx171{,}8,
  • \mathrm{Pr}^{1/3}\approx0{,}887,
  • o termo divisor \left[1+(0{,}4/\mathrm{Pr})^{2/3}\right]^{1/4}\approx1{,}14,
  • o fator de correção \left[1+(\mathrm{Re}_D/282000)^{5/8}\right]^{4/5}\approx1{,}191.
Substituindo:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}3 + \frac{0{,}62\cdot171{,}8\cdot0{,}887}{1{,}14}\cdot1{,}191 \approx 99{,}0.
Então o coeficiente convectivo externo:
h_{\text{conv}}=\frac{\mathrm{Nu}_D k_{\text{ar}}}{D_{\text{ext,ins}}}=\frac{99{,}0\cdot0{,}029}{0{,}268275}\approx 10{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 8

Estimativa do coeficiente radiativo linearizado h_{\text{rad}}.
Para pequenas diferenças de temperatura pode-se linearizar a troca radiativa por
h_{\text{rad}}\approx 4\varepsilon\sigma T_m^3,
onde \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} e T_m é uma temperatura média em Kelvin (aproximação: T_m\approx\dfrac{T_s+T_{\text{amb}}}{2}, com T_s a temperatura de superfície externa em °C convertida para K). Como h_{\text{rad}} depende de T_s, é necessário um passo iterativo (ou usar aproximação inicial). Vou fazer iterações rápidas até convergência.
Inicialmente assumo um palpite de superfície T_s\approx150^\circ\mathrm{C} ( 423\\ \mathrm{K}). Com isso o valor inicial de h_{\text{rad}} seria da ordem de 1{,}08\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (cálculo mostrado abaixo nas contas iterativas). Mas como a resistência do isolamento é relativamente grande a superfície externa ficará bem mais próxima do ambiente; então farei a iteração completa nos passos seguintes.

Passo 9

Iteração para obter h_{\text{rad}}, h_{\text{ext}}, R_{\text{ext}} e o fluxo Q consistente com a temperatura de superfície.
Procedimento:
  1. suponho um h_{\text{rad}} inicial (usei 1{,}08\\ \mathrm{W/(m^2K)} a partir de palpite);
  2. calculo h_{\text{ext}}=h_{\text{conv}}+h_{\text{rad}};
  3. calculo R_{\text{tot}}=R_i+R_{\text{steel}}+R_{\text{ins}}+1/(h_{\text{ext}}A_{\text{ext}});
  4. calculo Q=(T_{\text{vapor}}-T_{\text{amb}})/R_{\text{tot}};
  5. encontro T_s = T_{\text{amb}} + Q\cdot R_{\text{ext}} e atualizo h_{\text{rad}}=4\varepsilon\sigma T_m^3 com T_m=(T_s+T_{\text{amb}})/2;
  6. repito até convergir.
Mostro os resultados da iteração (resumo numérico):
  • Valores já calculados: R_i\approx8{,}26\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}, R_{\text{steel}}\approx5{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}, R_{\text{ins}}\approx0{,}01484\\ \mathrm{K/W}, h_{\text{conv}}\approx10{,}7\\ \mathrm{W/(m^2K)}, A_{\text{ext}}\approx42{,}146\\ \mathrm{m^2}.
Primeira iteração (com h_{\text{rad}} inicial):
  • h_{\text{ext}}\approx10{,}7+1{,}08=11{,}78\\ \mathrm{W/(m^2K)},
  • R_{\text{ext}}=1/(h_{\text{ext}}A_{\text{ext}})\approx1/(11{,}78\cdot42{,}146)\approx0{,}002015\\ \mathrm{K/W},
  • R_{\text{tot}}\approx0{,}016869\\ \mathrm{K/W},
  • Q=\dfrac{280-30}{0{,}016869}=\dfrac{250}{0{,}016869}\approx14{,}819\\ \mathrm{kW}.
  • T_s = 30 + Q\cdot R_{\text{ext}} \approx 30 +14819\cdot0{,}002015 \approx 59{,}9^\circ\mathrm{C}.
Atualizo h_{\text{rad}} com T_m=(59{,}9+30)/2=44{,}95^\circ\mathrm{C}=318{,}1\\ \mathrm{K}:
h_{\text{rad}} \approx 4\varepsilon\sigma T_m^3 =4\cdot0{,}1\cdot5{,}670374\times10^{-8}\cdot(318{,}1)^3\approx0{,}73\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Segunda iteração:
  • h_{\text{ext}}=10{,}7+0{,}73=11{,}43\\ \mathrm{W/(m^2K)},
  • R_{\text{ext}}=1/(11{,}43\cdot42{,}146)\approx0{,}002076\\ \mathrm{K/W},
  • R_{\text{tot}}\approx0{,}016929\\ \mathrm{K/W},
  • Q=\dfrac{250}{0{,}016929}\approx14{,}770\\ \mathrm{kW},
  • T_s = 30 +14770\cdot0{,}002076\approx60{,}7^\circ\mathrm{C}.
Atualizando h_{\text{rad}} com T_m\approx(60{,}7+30)/2=45{,}35^\circ\mathrm{C}=318{,}5\\ \mathrm{K} dá praticamente o mesmo h_{\text{rad}} (≈0{,}733), portanto o processo já convergiu. Assim ficamos com valores finais:
  • Q \approx 14{,}770\\ \mathrm{W} (fluxo térmico total para os 50\\ \mathrm{m} de linha).
  • Temperatura da superfície externa aproximada: T_s\approx60{,}7^\circ\mathrm{C}.
Observação: a maior resistência é a do isolamento; radiação contribui pouco porque a emissividade é baixa.

Passo 10

Converter perda térmica em perda de vapor (condensação) e em custo mensal.
  • Vazão mássica de vapor condensado (estado estacionário):
\dot{m}=\frac{Q}{L_v}=\frac{14770\\ \mathrm{J/s}}{1{,}531\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}}\approx 9{,}65\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Massa por mês (assumindo 30 dias = 30\cdot24\cdot3600=2{,}592{,}000\\ \mathrm{s}):
m_{\text{mês}}=\dot{m}\cdot 2{,}592{,}000 \approx 0{,}009648\cdot2{,}592{,}000 \approx 25{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{kg}\approx 25{,}01\\ \mathrm{toneladas}.ê
  • Custo mensal (a \$20 por tonelada):
\text{Custo}_{\text{mês}}=25{,}01\\ \mathrm{t}\times\$20/\mathrm{t}\approx\$500{,}20\\ \text{por mês}.êê
Arredondando sensatamente: perda térmica \sim14{,}8\\ \mathrm{kW}, perda de vapor \sim25{,}0\\ \mathrm{t/mês}ê, custo \sim\$500/\text{mês}ê.

Passo 11

Resumo rápido de interpretação (motivação para troca de isolamento):
  • O maior termo de resistência é o isolamento; reduzir a condutividade do isolamento ou aumentar a sua espessura reduzirá fortemente Q e, portanto, o custo mensal.
  • Radiação é pequena porque \varepsilon=0{,}1; no entanto, aumentar a emissividade (pintura escura) aumentaria perdas por radiação, o que normalmente não é desejável neste caso.
  • Os cálculos são baseados em propriedades médias do ar e numa correlação padrão para escoamento transversal; valores reais podem variar um pouco, mas a ordem de grandeza (algumas dezenas de kW e cerca de US$500/mês) é robusta.

Resposta

Q\approx 14{,}77\times10^{3}\\ \mathrm{W}
m_{\text{mês}}\approx 25{,}01\\ \mathrm{toneladas}ê
\text{Custo}_{\text{mês}}\approx \$500{,}20ê

Exercícios relacionados