(Propriedade básica da esperança condicional para
discreta) No exercício anterior, suponha que cada função
tenha derivada
. Nesse caso, dizemos que
é a densidade condicional de
dado que
e temos
se a integral existir. Suponha que
seja uma variável aleatória contínua com densidade
. Usando o resultado do exercício anterior, verifique que
Conclua que
também para esse caso.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
é discreta com valores
e
é contínua com densidade marginal
e densidades condicionais
, vale a fórmula da esperança total:
Em seguida, devemos concluir que isso equivale a
. Para isso, vamos usar (1) a lei da probabilidade total para densidades e (2) a linearidade da integral.
Passo 2
Pela lei da probabilidade total para densidades de
, a densidade marginal de
é a soma das densidades condicionais ponderadas pelas probabilidades de cada
:
Passo 3
Usando a definição de esperança de
e substituindo a expressão de
, obtemos
Como a soma em
é finita, podemos trocar soma e integral:
Passo 4
Pela definição de esperança de uma variável discreta
, temos
Se tomarmos
, os valores possíveis de
são
com probabilidades
. Logo,
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que