(Propriedade básica da esperança condicional para X discreta) No exercício anterior, suponha que cada função P\left(Y \leq y \mid X=x_{i}\right) tenha derivada f_{i}(y). Nesse caso, dizemos que f_{i} é a densidade condicional de Y dado que X=x_{i} e temos
\mathrm{E}\left[Y \mid X=x_{i}\right]=\int_{-\infty}^{\infty} y f_{i}(y) d y
se a integral existir. Suponha que Y seja uma variável aleatória contínua com densidade f. Usando o resultado do exercício anterior, verifique que
\mathrm{E}[Y]=\sum_{i=1}^{n} \mathrm{E}\left[Y \mid X=x_{i}\right] P\left(X=x_{i}\right)
Conclua que \mathrm{E}[Y]=\mathrm{E}[\mathrm{E}[Y \mid X]] também para esse caso.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando X é discreta com valores \{x_{1},\dots,x_{n}\} e Y é contínua com densidade marginal f(y) e densidades condicionais f_{i}(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x_{i}), vale a fórmula da esperança total:
\mathrm{E}[Y] =\sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}[Y\mid X=x_{i}]\,P(X=x_{i}).
Em seguida, devemos concluir que isso equivale a \mathrm{E}[Y]=\mathrm{E}[\mathrm{E}[Y\mid X]]. Para isso, vamos usar (1) a lei da probabilidade total para densidades e (2) a linearidade da integral.

Passo 2

Pela lei da probabilidade total para densidades de Y, a densidade marginal de Y é a soma das densidades condicionais ponderadas pelas probabilidades de cada x_{i}:
f(y) =\sum_{i=1}^{n}P(X=x_{i})\,f_{i}(y).

Passo 3

Usando a definição de esperança de Y e substituindo a expressão de f(y), obtemos
\mathrm{E}[Y] =\int_{-\infty}^{\infty}y\,f(y)\,dy =\int_{-\infty}^{\infty}y\sum_{i=1}^{n}P(X=x_{i})\,f_{i}(y)\,dy.
Como a soma em i é finita, podemos trocar soma e integral:
\mathrm{E}[Y] =\sum_{i=1}^{n}P(X=x_{i})\int_{-\infty}^{\infty}y\,f_{i}(y)\,dy =\sum_{i=1}^{n}P(X=x_{i})\,\mathrm{E}[Y\mid X=x_{i}].

Passo 4

Pela definição de esperança de uma variável discreta Z, temos
\mathrm{E}[Z] =\sum_{i}z_{i}\,P(Z=z_{i}).
Se tomarmos Z=\mathrm{E}[Y\mid X], os valores possíveis de Z são \mathrm{E}[Y\mid X=x_{i}] com probabilidades P(X=x_{i}). Logo,
\mathrm{E}[\mathrm{E}[Y\mid X]] =\sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}[Y\mid X=x_{i}]\,P(X=x_{i}).
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
\mathrm{E}[Y] =\mathrm{E}[\mathrm{E}[Y\mid X)].

Resposta

\displaystyle \mathrm{E}[Y] =\sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}[Y\mid X=x_{i}]\,P(X=x_{i}) =\mathrm{E}[\mathrm{E}[Y\mid X]].

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