(Soma com número aleatório de parcelas) Suponha que (
) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição comum
. Seja
uma variável aleatória binomial com parâmetros
inteiro e
. Defina
. A partir da esperança e variância condicionais, mostre que
e que
.
Passo 1
O enunciado trata de variáveis aleatórias independentes
com distribuição comum
e de uma variável
. Definimos
e vamos usar as fórmulas de esperança e variância condicionais para calcular
e
.
Passo 2
Primeiro aplicamos a lei da expectativa total (ou esperança condicionada):
Para um valor fixo de
, a soma de
variáveis iid
tem esperança
. Ou seja,
portanto
Passo 3
Agora tomamos a expectativa sobre
:
Como
, temos
. Logo
Passo 4
Para a variância, usamos a lei da variância total:
Passo 5
- Condicionalmente a
, a soma de iid tem variância . Logo
e
- Já
, então
Como
, segue
Passo 6
Somando as duas parcelas da variância total: