(Soma com número aleatório de parcelas) Suponha que ( X_{n} ) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição comum N\left(\mu, \sigma^{2}\right). Seja K uma variável aleatória binomial com parâmetros n inteiro e p \in(0,1). Defina S=\sum_{i=1}^{K} X_{i}. A partir da esperança e variância condicionais, mostre que \mathrm{E}[S]=n p \mu e que \operatorname{Var}[S]= n p\left(\sigma^{2}+(1-p) \mu^{2}\right).

Passo 1

O enunciado trata de variáveis aleatórias independentes (X_i) com distribuição comum N(\mu,\sigma^2) e de uma variável K\sim\mathrm{Bin}(n,p). Definimos
S = \sum_{i=1}^{K}X_i
e vamos usar as fórmulas de esperança e variância condicionais para calcular \mathrm{E}[S] e \mathrm{Var}[S].

Passo 2

Primeiro aplicamos a lei da expectativa total (ou esperança condicionada):
\mathrm{E}[S] = \mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}[S\mid K]\bigr].
Para um valor fixo de K=k, a soma de k variáveis iid N(\mu,\sigma^2) tem esperança k\mu. Ou seja,
\mathrm{E}[S\mid K=k] = k\,\mu,
portanto
\mathrm{E}[S\mid K] = K\,\mu.

Passo 3

Agora tomamos a expectativa sobre K:
\mathrm{E}[S] = \mathrm{E}[K\,\mu] = \mu\,\mathrm{E}[K].
Como K\sim\mathrm{Bin}(n,p), temos \mathrm{E}[K]=n\,p. Logo
\mathrm{E}[S] = n\,p\,\mu.

Passo 4

Para a variância, usamos a lei da variância total:
\mathrm{Var}[S] = \mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}[S\mid K]\bigr] \;+\;\mathrm{Var}\bigl[\mathrm{E}[S\mid K]\bigr].

Passo 5

  1. Condicionalmente a K=k, a soma de k iid N(\mu,\sigma^2) tem variância k\,\sigma^2. Logo
\mathrm{Var}[S\mid K] = K\,\sigma^2
e
\mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}[S\mid K]\bigr] = \sigma^2\,\mathrm{E}[K] = \sigma^2\,n\,p.
  1. \mathrm{E}[S\mid K]=K\,\mu, então
\mathrm{Var}\bigl[\mathrm{E}[S\mid K]\bigr] = \mathrm{Var}[K\,\mu] = \mu^2\,\mathrm{Var}[K].
Como \mathrm{Var}[K]=n\,p\,(1-p), segue
\mathrm{Var}\bigl[\mathrm{E}[S\mid K]\bigr] = \mu^2\,n\,p\,(1-p).

Passo 6

Somando as duas parcelas da variância total:
\mathrm{Var}[S] = \sigma^2\,n\,p \;+\; \mu^2\,n\,p\,(1-p) = n\,p\bigl(\sigma^2 + (1-p)\,\mu^2\bigr).

Resposta

\mathrm{E}[S] = n\,p\,\mu \mathrm{Var}[S] = n\,p\bigl(\sigma^2 + (1-p)\,\mu^2\bigr)

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