Em uma propriedade deseja-se construir uma pequena barragem retangular de pedra com argamassa, cujo peso específico do material é
, assentada sobre rocha. A altura da barragem e a profundidade da água são de
. Determine a largura da base ( m ), de modo a satisfazer as condições de estabilidade (
). Resp.:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Peso específico (densidade) do material da barragem:
. - Profundidade da água e altura da barragem:
. - A barragem tem seção retangular (base de largura
e altura ), assentada sobre rocha. - Condição de estabilidade (regra do terço médio) indicada no enunciado:
. Interpreto isso como a exigência clássica de que a resultante das forças esteja dentro do terço médio da base — isto equivale, matematicamente, a exigir que a excentricidade satisfaça .
O que se pede: determinar a largura da base
(em metros) que satisfaça a condição de estabilidade.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a força hidrostática horizontal resultante que age sobre a face vertical da barragem. Para uma lâmina d’água de altura
sobre uma face vertical por unidade de comprimento, a força resultante é a força sobre um triângulo de pressão:
onde:
-
é o peso específico da água (força por volume), que vale . -
é a altura da água (aqui ).
Agora calculamos numericamentes os passos acima:
Observação didática curta: esta fórmula vem de integrar a pressão triangular
ao longo da altura; o resultado é a área do triângulo (base
, altura
) dividida por 2, daí
.
Passo 3
Agora calculamos o peso da barragem por unidade de comprimento (força vertical descendente). A área da secção retangular é
, logo o peso é:
onde
é o peso específico do material da barragem. Foi dada a densidade
, assim:
Portanto, por unidade de comprimento:
(para facilitar escreverei
N/m — note que
está em metros).
Passo 4
Precisamos agora relacionar o efeito de tombamento (momento) gerado pela força da água com a resistência oferecida pelo peso. A força hidrostática
age a uma altura igual a um terço da profundidade medida a partir da base (o centro de pressão de um triângulo de pressões), ou seja, a
acima da base. Essa força produz um momento de tombamento, cujo braço útil (distância perpendicular) que usaremos é precisamente esse
. Assim, o momento de tombamento devido à água, por unidade de comprimento, é:
Observação didática: o ponto de aplicação do esforço hidrostático em uma face vertical é o centro do triângulo de pressões, localizado a
da base (contando do pé).
Passo 5
A excentricidade
da resultante vertical (efeito de rotacionar o bloco) é dada por:
Essa excentricidade representa o quanto a linha de ação da resultante vertical se desloca em relação ao centro da base. A condição de não provocar tração em nenhuma borda (regra do terço médio) é:
Explicação curta: se a excentricidade for maior que
, a resultante sai do terço médio e aparece tensão de tração numa face; para estabilidade sem tração pedimos
.
Passo 6
Agora juntamos as fórmulas e montamos a desigualdade:
Primeiro substituímos
e
em
:
Substituindo
:
Aplicando a condição
:
Multiplicando ambos os lados por
e por
(bons passos algébricos: cuidar de
):
Logo:
Isto é uma forma bem direta: a largura mínima é dada por
.
Passo 7
Agora colocamos os números:
Calcule a razão:
A raiz:
Multiplicando por
:
Arredondando de forma prática, obtemos
.
Passo 8
Interpretação final e incentivo: a largura mínima da base para que a resultante fique dentro do terço médio (e, portanto, a barragem não sofra uma abertura por ponta) é
. É uma resposta bem razoável para uma barragem tão baixa (
) — lembra que o procedimento geral é: calcular a força da água, calcular o peso do bloco, calcular o momento de tombamento e impor a condição do terço médio. Se você repetir esses passos em outros problemas com diferentes alturas ou densidades, vai conseguir resolver rápido.