Em uma propriedade deseja-se construir uma pequena barragem retangular de pedra com argamassa, cujo peso específico do material é 2.250 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, assentada sobre rocha. A altura da barragem e a profundidade da água são de 1,20 \mathrm{~m}. Determine a largura da base ( m ), de modo a satisfazer as condições de estabilidade ( R=>2 / 3 b ). Resp.: b=0,80 m

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Peso específico (densidade) do material da barragem: \,2{,}250\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Profundidade da água e altura da barragem: \,h=1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • A barragem tem seção retangular (base de largura b e altura h), assentada sobre rocha.
  • Condição de estabilidade (regra do terço médio) indicada no enunciado: R \Rightarrow 2/3\,b. Interpreto isso como a exigência clássica de que a resultante das forças esteja dentro do terço médio da base — isto equivale, matematicamente, a exigir que a excentricidade e satisfaça e \le b/6.
O que se pede: determinar a largura da base b (em metros) que satisfaça a condição de estabilidade.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a força hidrostática horizontal resultante que age sobre a face vertical da barragem. Para uma lâmina d’água de altura h sobre uma face vertical por unidade de comprimento, a força resultante é a força sobre um triângulo de pressão:
T=\tfrac{1}{2}\,\gamma_w\,h^{2}
onde:
  • \gamma_w é o peso específico da água (força por volume), que vale \gamma_w=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\cdot 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}=9810\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • h é a altura da água (aqui 1{,}20\\ \mathrm{m}).
Agora calculamos numericamentes os passos acima:
\gamma_w = 1000\cdot 9{,}81 = 9810\\ \mathrm{N/m^{3}}
T=\tfrac{1}{2}\cdot 9810\cdot (1{,}20)^{2}
(1{,}20)^{2}=1{,}44
T=\tfrac{1}{2}\cdot 9810\cdot 1{,}44 = 9810\cdot 0{,}72 = 7\,063{,}2\\ \mathrm{N\\ per\\ m\\ length}
Observação didática curta: esta fórmula vem de integrar a pressão triangular p(y)=\gamma_w y ao longo da altura; o resultado é a área do triângulo (base \gamma_w h, altura h) dividida por 2, daí \tfrac{1}{2}\gamma_w h^{2}.

Passo 3

Agora calculamos o peso da barragem por unidade de comprimento (força vertical descendente). A área da secção retangular é A=b\cdot h, logo o peso é:
W=\gamma_s\cdot A=\gamma_s\cdot b\cdot h
onde \gamma_s é o peso específico do material da barragem. Foi dada a densidade \rho_s=2{,}250\\ \mathrm{kg/m^{3}}, assim:
\gamma_s=\rho_s\cdot g = 2{,}250\cdot 9{,}81 = 22\,072{,}5\\ \mathrm{N/m^{3}}
Portanto, por unidade de comprimento:
W = 22\,072{,}5\cdot b\cdot 1{,}20 = 26\,486{,}999\;b \approx 26\,487\;b\\ \mathrm{N\\ per\\ m}
(para facilitar escreverei W=26\,487\,b N/m — note que b está em metros).

Passo 4

Precisamos agora relacionar o efeito de tombamento (momento) gerado pela força da água com a resistência oferecida pelo peso. A força hidrostática T age a uma altura igual a um terço da profundidade medida a partir da base (o centro de pressão de um triângulo de pressões), ou seja, a h/3 acima da base. Essa força produz um momento de tombamento, cujo braço útil (distância perpendicular) que usaremos é precisamente esse h/3. Assim, o momento de tombamento devido à água, por unidade de comprimento, é:
M = T\cdot \frac{h}{3}
Observação didática: o ponto de aplicação do esforço hidrostático em uma face vertical é o centro do triângulo de pressões, localizado a h/3 da base (contando do pé).

Passo 5

A excentricidade e da resultante vertical (efeito de rotacionar o bloco) é dada por:
e=\frac{M}{W}
Essa excentricidade representa o quanto a linha de ação da resultante vertical se desloca em relação ao centro da base. A condição de não provocar tração em nenhuma borda (regra do terço médio) é:
e \le \frac{b}{6}
Explicação curta: se a excentricidade for maior que b/6, a resultante sai do terço médio e aparece tensão de tração numa face; para estabilidade sem tração pedimos e\le b/6.

Passo 6

Agora juntamos as fórmulas e montamos a desigualdade:
Primeiro substituímos M e W em e=\dfrac{M}{W}:
e=\frac{T\cdot (h/3)}{\gamma_s\;b\;h}
Substituindo T=\tfrac{1}{2}\gamma_w h^{2}:
e=\frac{\tfrac{1}{2}\gamma_w h^{2}\cdot \dfrac{h}{3}}{\gamma_s\;b\;h} =\frac{\gamma_w h^{2}}{6\,\gamma_s\,b}
Aplicando a condição e \le \dfrac{b}{6}:
\frac{\gamma_w h^{2}}{6\,\gamma_s\,b} \le \frac{b}{6}
Multiplicando ambos os lados por 6 e por b (bons passos algébricos: cuidar de b>0):
\gamma_w h^{2} \le \gamma_s\, b^{2}
Logo:
b^{2} \ge \frac{\gamma_w\,h^{2}}{\gamma_s} \quad\Rightarrow\quad b \ge h\sqrt{\frac{\gamma_w}{\gamma_s}}
Isto é uma forma bem direta: a largura mínima é dada por b=h\sqrt{\gamma_w/\gamma_s}.

Passo 7

Agora colocamos os números:
\gamma_w = 9810\\ \mathrm{N/m^{3}},\qquad \gamma_s = 22\,072{,}5\\ \mathrm{N/m^{3}},\qquad h=1{,}20\\ \mathrm{m}
Calcule a razão:
\frac{\gamma_w}{\gamma_s}=\frac{9810}{22\,072{,}5}\approx 0{,}444444\\ (\text{aprox.})
A raiz:
\sqrt{\frac{\gamma_w}{\gamma_s}}\approx \sqrt{0{,}444444}\approx 0{,}666667
Multiplicando por h:
b \ge 1{,}20\cdot 0{,}666667 \approx 0{,}800000\\ \mathrm{m}
Arredondando de forma prática, obtemos b\approx 0{,}80\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: a largura mínima da base para que a resultante fique dentro do terço médio (e, portanto, a barragem não sofra uma abertura por ponta) é b\approx 0{,}80\\ \mathrm{m}. É uma resposta bem razoável para uma barragem tão baixa ( 1{,}20\\ \mathrm{m}) — lembra que o procedimento geral é: calcular a força da água, calcular o peso do bloco, calcular o momento de tombamento e impor a condição do terço médio. Se você repetir esses passos em outros problemas com diferentes alturas ou densidades, vai conseguir resolver rápido.

Resposta

b=0{,}80\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados