A aleta é uma superficie estendida utilizada para aumentar a transferência de calor em sistemas de resfriamento ou aquecimento. Ela atua aumentando a área de troca de calor entre a superfície aquecida e o fluido, melhorando a convecção e, consequentemente, a taxa de transferência de calor. Em uma parede plana coloca-se aletas, com forma cilíndrica por \mathrm{m}^{2}, tendo o diâmetro 50,0 \mathrm{~mm} e um comprimento de 500 mm . A distância entre uma aleta e outra é de 50,0 \mathrm{~mm}. Admitir o coeficiente de transmissão de calor, entre a superfície da parede ou entre uma aleta e o meio envolvente, como 120 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2} \mathrm{C}, a parede plana a 300^{\circ} \mathrm{C}, e o meio ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}. A parede e as aletas são de alumínio ( \mathrm{k}=178,8 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm}^{\circ} \mathrm{C} ).
Qual o valor da temperatura da aleta na metade do seu comprimento se ela for considerada uma aleta infinita?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura da aleta na metade do seu comprimento, considerando a aleta como infinita. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente, já convertendo unidades para metros quando necessário):
  • diâmetro da aleta: 50{,}0\\ \mathrm{mm} → raio r = \dfrac{50{,}0}{2}\\ \mathrm{mm} = 25{,}0\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\\ \mathrm{m};
  • comprimento da aleta: 500\\ \mathrm{mm} = 0{,}5\\ \mathrm{m}. Metade do comprimento (onde queremos a temperatura) é x = 0{,}25\\ \mathrm{m};
  • espaçamento entre aletas: 50{,}0\\ \mathrm{mm} (informação dada, mas não necessária para a temperatura ao longo de uma aleta isolada);
  • coeficiente de convecção: h = 120\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C});
  • temperatura da parede (base da aleta): T_{b} = 300\,^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do ambiente: T_{\infty} = 20\,^\circ\mathrm{C};
  • condutividade térmica do alumínio: k = 178{,}8\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Conceito físico e equação a usar (explicação bem didática). Para uma aleta de seção constante no eixo x com convecção na lateral, define-se a função \theta(x)=T(x)-T_{\infty} (diferença entre temperatura local e do ambiente). A equação diferencial que governa o equilíbrio estacionário de energia na aleta é
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}} - m^{2}\theta = 0,
onde m é um parâmetro que depende das propriedades geométricas da aleta e dos coeficientes térmicos. Essa equação aparece porque o balanço entre condução ao longo da aleta e perda por convecção lateral resulta nessa forma (quando área e perímetro são constantes ao longo do comprimento).
A solução geral é
\theta(x) = C_{1}e^{m x} + C_{2}e^{-m x}.
Para uma aleta considerada infinita, a condição física é que a diferença de temperatura tenda a zero quando x\to\infty:
\theta(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}0.
Para que isso ocorra devemos ter C_{1}=0 (o termo e^{m x} diverge). Logo
\theta(x)=C_{2}e^{-m x}.
No extremo na base x=0 vale \theta(0)=T_{b}-T_{\infty}, então C_{2}=T_{b}-T_{\infty}. Assim a expressão prática para temperatura ao longo da aleta infinita é
T(x)=T_{\infty} + (T_{b}-T_{\infty})\,e^{-m x}.
Esta fórmula é essencial: mostra que a temperatura decai exponencialmente da base até o infinito, com taxa governada por m.

Passo 3

Fórmula do parâmetro m para seção constante. Em fins de transferência de calor,
m^{2}=\frac{hP}{kA_{c}},
onde:
  • h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C})),
  • P é o perímetro molhado da seção transversal (para um cilindro P=2\pi r),
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C})),
  • A_{c} é a área da seção transversal da aleta (para um cilindro A_{c}=\pi r^{2}).
Para aleta cilíndrica podemos simplificar:
m^{2}=\frac{h(2\pi r)}{k(\pi r^{2})}=\frac{2h}{k\,r}.
Portanto
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,r}}.
Explicação das variáveis: r é o raio da aleta (m), h e k têm unidades compatíveis que fazem m ter unidade \mathrm{m}^{-1}. Note que a razão h/k tem unidade 1/\mathrm{m}, e a divisão por r 1/\mathrm{m}^{2}, cuja raiz é 1/\mathrm{m}.

Passo 4

Substituição numérica para calcular m. Usando os valores:
r = 0{,}025\\ \mathrm{m},\qquad h = 120\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C}),\qquad k = 178{,}8\\ \mathrm{kcal}\,/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).
Calcule o denominador intermediário k\,r:
k\,r = 178{,}8\times 0{,}025 = 4{,}47.
Calcule 2h:
2h = 2\times 120 = 240.
Então
m = \sqrt{\dfrac{240}{4{,}47}}.
Faça a divisão:
\dfrac{240}{4{,}47}\approx 53{,}692.
Tirando raiz quadrada:
m \approx \sqrt{53{,}692}\approx 7{,}327\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Calcular o fator exponencial em x=0{,}25\\ \mathrm{m}. Multiplicando
m x = 7{,}327\times 0{,}25 = 1{,}83175.
Logo
e^{-m x} = e^{-1{,}83175}\approx 0{,}1602.
(Dica: se na prova você não tiver calculadora científica, pode usar tabelas ou aproximações — aqui usei a aproximação numérica direta para obter precisão razoável.)

Passo 6

Aplicar a fórmula da temperatura:
T(x)=T_{\infty} + (T_{b}-T_{\infty})\,e^{-m x}.
Substituindo T_{b}=300\,^\circ\mathrm{C}, T_{\infty}=20\,^\circ\mathrm{C}, e^{-m x}\approx 0{,}1602:
T(0{,}25)=20 + (300-20)\times 0{,}1602.
Calcule a diferença:
300-20=280.
Multiplicando:
280\times 0{,}1602 \approx 44{,}86.
Somando com a temperatura ambiente:
T(0{,}25)\approx 20 + 44{,}86 = 64{,}86\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação e checagem: o resultado significa que, mesmo a 0{,}25\\ \mathrm{m} da base (metade do comprimento real da aleta), a temperatura caiu bastante por causa da forte convecção (valor de m relativamente grande). Como a aleta foi tratada como “infinita”, o contato na ponta não é considerado — essa hipótese justifica o uso de e^{-m x}. Se tivéssemos considerado a ponta finita com condição diferente, o resultado mudaria um pouco, mas para aletas relativamente longas e com mL grande, a aproximação infinita é boa.

Resposta

T(0{,}25\\ \mathrm{m}) \approx 64{,}9\,^\circ\mathrm{C}

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