Uma propriedade elementar de integrais afirma que, se
é uma função contínua e positiva em um conjunto
e
é um subconjunto de
, então
Seja
um número real positivo e considere o cubo
:
e as esferas
e
. Para
,
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
que é contínua e positiva em
, e três conjuntos em
:
Queremos usar a propriedade de integrais múltiplas de função positiva em conjuntos aninhados para obter
Passo 2
Mostramos que
. Se
, então
implica
,
e
. Logo
.
Passo 3
Mostramos que
. Se
, então
, daí
logo
.
Passo 4
Aplicamos a propriedade elementar de integrais: se
é contínua e
então
Como
, segue