Uma propriedade elementar de integrais afirma que, se f é uma função contínua e positiva em um conjunto U e V é um subconjunto de U, então
integral triplaV f d x d y d z <= integral triplaU f d x d y d z
Seja a um número real positivo e considere o cubo Ca=(x, y, z) : -a <= x <= a,-a <= y <= a,-a <= z <= a e as esferas Ea^-=(x, y, z): x^2+y^2+z^2 <= a^2 e Ea^+=(x, y, z): x^2+y^2+z^2 <= 3 a^2. Para f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 e^-x^2-y^2-z^2,
Mostre que integral triplaEa^- f(x, y, z) d x d y d z <= integral triplaCa f(x, y, z) d x d y d z <= integral triplaEa^+ f(x, y, z) d x d y d z.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2;e^-x^2-y^2-z^2
que é contínua e positiva em R^3, e três conjuntos em R^3:
Ca=(x,y,z)mid -a<= x,y,z<= a,
Ea^-=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<= a^2,
Ea^+=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=3a^2
Queremos usar a propriedade de integrais múltiplas de função positiva em conjuntos aninhados para obter
integral triplaEa^-f<=integral triplaCaf<=integral triplaEa^+f

Passo 2

Mostramos que Ea^-subset Ca. Se (x,y,z)in Ea^-, então
x^2+y^2+z^2<= a^2
implica |x|<= a, |y|<= a e |z|<= a. Logo (x,y,z)in Ca.

Passo 3

Mostramos que Casubset Ea^+. Se (x,y,z)in Ca, então |x|,|y|,|z|<= a, daí
x^2+y^2+z^2<= a^2+a^2+a^2=3a^2,
logo (x,y,z)in Ea^+.

Passo 4

Aplicamos a propriedade elementar de integrais: se f>=0 é contínua e Asubset B então
integral triplaAf<=integral triplaBf
Como Ea^-subset Casubset Ea^+, segue
integral triplaEa^-f;<=;integral triplaCaf;<=;integral triplaEa^+f

Resposta

integral triplaEa^-f(x,y,z),dx,dy,dz ;<=;integral triplaCaf(x,y,z),dx,dy,dz ;<=;integral triplaEa^+f(x,y,z),dx,dy,dz

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