Sejam as funções
Determine:
Domínio e imagem das funções;
Domínio e imagem das funções;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções:
O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio (todos os valores de entrada possíveis) e a imagem (todos os valores de saída possíveis) de cada uma dessas funções. Para isso, vamos lembrar o que são domínio e imagem e depois aplicar isso a cada função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que você pode colocar na função sem causar problemas, como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos.
Para a gente analisar o domínio de cada função, vamos olhar para o que está dentro de cada uma delas.
Passo 3
Vamos começar com a função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $.
Aqui, temos um polinômio, que é basicamente uma soma de termos com potências inteiras não negativas de variáveis. Polinômios não têm restrições porque você pode elevar qualquer número a uma potência e somar sem problemas.
Domínio de f: Todos os números reais para $ x $, $ y $ e $ z $, ou seja, $ \mathbb{R}^3 $.
Passo 4
Agora, vamos para a função $ g(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $.
Aqui temos uma raiz quadrada. Lembre-se que dentro da raiz quadrada, o que estiver dentro precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz de número negativo (no conjunto dos números reais).
Mas olha só, $ x^{2} $, $ y^{2} $ e $ z^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero, então a soma deles também é sempre maior ou igual a zero.
Domínio de g: Todos os números reais para $ x $, $ y $ e $ z $, ou seja, $ \mathbb{R}^3 $.
Passo 5
Finalmente, vamos ver a função $ h(x, y, z) = x + y + z $.
Essa é uma função que simplesmente soma as três variáveis. Assim como os polinômios, não tem restrições de domínio.
Domínio de h: Todos os números reais para $ x $, $ y $ e $ z $, ou seja, $ \mathbb{R}^3 $.
Passo 6
Agora que já vimos o domínio de cada função, vamos para a imagem, que são os possíveis valores de saída que a função pode produzir.
Começando com $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $.
Como estamos somando quadrados, o menor valor que isso dá é 0 (quando $ x = y = z = 0 $), e pode crescer até o infinito à medida que $ x $, $ y $ ou $ z $ aumentam.
Imagem de f: Todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Passo 7
Para $ g(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $, estamos tirando a raiz quadrada da soma dos quadrados.
Isso sempre será um número não negativo, e pode ser zero (quando $ x = y = z = 0 $) e crescer até o infinito conforme as variáveis aumentam.
Imagem de g: Todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Passo 8
Por fim, para $ h(x, y, z) = x + y + z $, estamos somando três números reais, que podem resultar em qualquer número real, positivo ou negativo, dependendo dos valores de $ x $, $ y $ e $ z $.
Imagem de h: Todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.
Resposta
-
Função $ f(x, y, z) $:
- Domínio: $ \mathbb{R}^3 $
- Imagem:
-
Função $ g(x, y, z) $:
- Domínio: $ \mathbb{R}^3 $
- Imagem:
-
Função $ h(x, y, z) $:
- Domínio: $ \mathbb{R}^3 $
- Imagem: $ \mathbb{R} $