(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver o somatório e mostrar que
Informações dadas e convenções: os índices
e
variam em
(a soma dupla é sobre
e
); o índice
é livre (o resultado deve valer para cada
). Não foram fornecidas outras informações numéricas além das definições usuais de
e
.
Passo 2
Definição e intuição da delta de Kronecker: a função
Exemplos:
. A utilidade prática: ao somar com um índice repetido,
“seleciona” os termos com
.]
Passo 3
Definição e propriedades do símbolo de Levi-Civita
em 3 dimensões:
-
. -
é totalmente antissimétrico: trocar duas entradas muda o sinal, por exemplo . - Se quaisquer dois índices forem iguais então
isto é,
para quaisquer
. Isso vem da antissimetria: trocar os dois índices iguais não muda a tupla, mas a antissimetria exige trocar o sinal, logo o valor tem que ser zero.
Passo 4
Agora manipular o somatório usando a propriedade de seleção da delta. Escrevendo explicitamente as somas:
Pelo que
faz, só permanecem os termos com
. Portanto o duplo somatório reduz-se a um somatório simples sobre
:
Passo 5
Aplicando a propriedade do Levi-Civita que diz que componentes com índices repetidos são zero, cada termo
vale zero:
Logo
Portanto o somatório original é zero para todo
.
Passo 6
(Prova alternativa, útil na prova) Usando simetria/antissimetria: defina
Trocando os rótulos dummies
(isso não muda o valor da soma) obtém-se
Como
(delta é simétrica) e
(epsilon é antissimétrica), segue
Logo
implica
. Mesmo resultado, raciocínio diferente e elegante.
Passo 7
Conclusão e observação final: ambas as vias mostram que para cada
fixo vale
Resposta
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