(Propriedades da delta de kronecker e Levi-Civita): Desenvolva os somatórios e mostre as seguintes propriedades da delta de kronecker e tensor de Levi-Civita.
\sum_{i j}^{3} \delta_{i j} \epsilon_{i j k}=0

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o somatório e mostrar que
\sum_{i j}^{3} \delta_{i j}\,\epsilon_{i j k}=0.
Informações dadas e convenções: os índices i e j variam em \{1,2,3\} (a soma dupla é sobre i e j); o índice k é livre (o resultado deve valer para cada k=1,2,3). Não foram fornecidas outras informações numéricas além das definições usuais de \delta_{ij} e \epsilon_{ijk}.

Passo 2

Definição e intuição da delta de Kronecker: a função \delta_{ij}\) é \[\delta_{ij}=\begin{cases}1 &\text{se }i=j,\\[4pt]0 &\text{se }i\neq j.\end{cases}
Exemplos: \delta_{11}=1\], \(\delta_{23}=0. A utilidade prática: ao somar com um índice repetido, \delta_{ij} “seleciona” os termos com i=j.]

Passo 3

Definição e propriedades do símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} em 3 dimensões:
  • \epsilon_{123}=1.
  • \epsilon_{ijk} é totalmente antissimétrico: trocar duas entradas muda o sinal, por exemplo \epsilon_{213}=-\epsilon_{123}=-1.
  • Se quaisquer dois índices forem iguais então
\epsilon_{a a b}=0,
isto é, \epsilon_{i i k}=0 para quaisquer i,k. Isso vem da antissimetria: trocar os dois índices iguais não muda a tupla, mas a antissimetria exige trocar o sinal, logo o valor tem que ser zero.

Passo 4

Agora manipular o somatório usando a propriedade de seleção da delta. Escrevendo explicitamente as somas:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\delta_{ij}\,\epsilon_{ijk}.
Pelo que \delta_{ij} faz, só permanecem os termos com i=j. Portanto o duplo somatório reduz-se a um somatório simples sobre i:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\delta_{ij}\,\epsilon_{ijk} =\sum_{i=1}^{3}\epsilon_{i i k}.

Passo 5

Aplicando a propriedade do Levi-Civita que diz que componentes com índices repetidos são zero, cada termo \epsilon_{i i k} vale zero:
\epsilon_{1 1 k}=0,\qquad \epsilon_{2 2 k}=0,\qquad \epsilon_{3 3 k}=0.
Logo
\sum_{i=1}^{3}\epsilon_{i i k}=0+0+0=0.
Portanto o somatório original é zero para todo k.

Passo 6

(Prova alternativa, útil na prova) Usando simetria/antissimetria: defina
S=\sum_{i j}\delta_{ij}\,\epsilon_{ijk}.
Trocando os rótulos dummies i\leftrightarrow j (isso não muda o valor da soma) obtém-se
S=\sum_{i j}\delta_{ji}\,\epsilon_{jik}.
Como \delta_{ji}=\delta_{ij} (delta é simétrica) e \epsilon_{jik}=-\epsilon_{ijk} (epsilon é antissimétrica), segue
S=\sum_{i j}\delta_{ij}\,(-\epsilon_{ijk})=-S.
Logo S=-S implica S=0. Mesmo resultado, raciocínio diferente e elegante.

Passo 7

Conclusão e observação final: ambas as vias mostram que para cada k fixo vale
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\delta_{ij}\,\epsilon_{ijk}=0.

Resposta

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