Propriedades ópticas de sólidos (interação da luz com a matéria):
4. Descreva o Modelo oscilador de Lorenz para sólidos.
4. Descreva o Modelo oscilador de Lorenz para sólidos.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva o Modelo oscilador de Lorenz para sólidos. As informações implícitas são: quero entender o que é o modelo, a equação que o define, como se relaciona com a polarização e a função dielétrica, o que os parâmetros físicos significam, como o modelo explica dispersão e absorção e quais são suas aplicações e limitações. Não há dados numéricos a resolver — é uma descrição teórica com derivação das fórmulas principais.
Passo 2
Primeiro, a ideia física (imagem mental). Imagine um elétron ligado a um átomo ou íon dentro de um sólido por uma “mola” efetiva que tenta restaurá-lo à posição de equilíbrio. Quando um campo elétrico
da luz incide, ele força o elétron a oscilar. Há também perda de energia (atrito, espalhamento) que é modelada por um termo de amortecimento. Essa analogia massa-mola-amortecedor é o coração do Modelo de Lorenz — um modelo clássico que transforma a resposta microscópica (elétron oscilando) numa resposta macroscópica (polarização
, permissividade
, índice de refração).
Passo 3
Escrevendo a equação de movimento para um elétron ligado (passo a passo e definindo cada variável). Considere um elétron de massa
e carga
sujeito a:
- força restauradora linear com frequência natural
, - força dissipativa proporcional à velocidade com coeficiente
, - força externa do campo elétrico
.
A equação de movimento é
Aqui
é a aceleração,
a velocidade,
o deslocamento do elétron em relação ao equilíbrio,
tem dimensões de frequência (taxa de amortecimento), e
é a frequência de ressonância da “mola”.
Passo 4
Resolução da equação para estado estacionário com campo harmônico. Em óptica assumimos um campo monocrômatico
e procuramos uma solução também proporcional a
. Substituindo e simplificando, obtemos a resposta em frequência:
Explico: substituí
e
; o sinal imaginário
aparece por causa da derivada temporal na representação complexa. Esta é a amplitude estacionária do deslocamento em função da frequência da luz
.
Passo 5
Do deslocamento à dipolarização. O dipolo de um único elétron (momento dipolar) é
Substituindo
obtemos
Se houver
elétrons (ou
osciladores por unidade de volume) idênticos, a polarização macroscópica é
Aqui explico os termos:
é momento dipolar por unidade de volume;
é densidade de osciladores (m^{-3}).
Passo 6
Relacionando polarização com susceptibilidade e permissividade. Por definição linear,
onde
é a permissividade do vácuo e
é a susceptibilidade elétrica complexa. Igualando com a expressão anterior:
A função dielétrica relativa
é
Na prática, às vezes incluímos um termo de fundo
(contribuições eletrônicas mais rápidas ou ligações “internas”) e escrevemos
Passo 7
Forma alternativa com frequência plasmática e vários osciladores. É comum definir a frequência plasmática do conjunto de elétrons ligados por
Então a contribuição de um oscilador é
Para sólidos que têm várias ressonâncias (várias ligações, modos de fônons, transições eletrônicas) somamos termos:
Cada termo
tem seu
,
e
(ou “força do oscilador”).
Passo 8
Separando parte real e imaginária — ligação com dispersão e absorção. A função dielétrica complexa pode ser escrita como
Se isolarmos a parte imaginária de um termo de Lorentz obtemos (após multiplicar numerador e denominador pelo conjugado)
Isto mostra que há um pico de absorção (linha de Lorentz) centrado próximo a
; a largura do pico é controlada por
. A parte real
varia de forma característicamente dispersiva (muda rapidamente perto da ressonância), o que causa a variação do índice de refração com a frequência (dispersão).
Passo 9
Índice de refração e coeficiente de absorção. Relacionamos a permitividade com o índice complexo
por
Assim
(índice) e
(coeficiente de extinção) derivam da raiz quadrada da função dielétrica. A taxa de atenuação do feixe é dada por
. Perto da ressonância,
aumenta (absorção) e
varia rápido — isso pode gerar regiões de dispersão normal (
) e anômala (
) próximas à ressonância.
Passo 10
Limites e casos especiais: relacionamento com o modelo de Drude. Se a frequência de ressonância for nula (
) para portadores livres (elétrons não ligados), o modelo de Lorenz reduce-se ao modelo de Drude:
que descreve condutores e plasmas (absorção e resposta de baixas frequências). Ou seja, Lorentz = osciladores ligados; Drude = caso livre.
Passo 11
Causalidade e relações de Kramers–Kronig. Como
deriva de respostas físicas causais, suas partes real e imaginária não são independentes: obedecem às relações de Kramers–Kronig. Isso significa que a absorção em uma banda determina a variação de índice em todas as frequências — por isso a forma de Lorentz (com polo no plano complexo) garante consistência causal do modelo clássico.
Passo 12
Aplicações práticas, parâmetros experimentais e limitações. O Modelo de Lorenz é usado para ajustar espectros ópticos (infravermelho para fônons, visível/UV para transições eletrônicas), para extrair
,
e
dos dados. Limitações: é um modelo clássico (não captura efeitos quantizados finos como linhas de excítons com estrutura fina, efeitos de muitos corpos, bandas eletrônicas detalhadas, nem efeitos locais de campo sem correções), assume linearidade e resposta homogênea média. Ainda assim é extremamente útil como primeiro modelo e para entendimento físico de dispersão e absorção.
Resposta
O Modelo oscilador de Lorenz descreve elétrons ligados em sólidos como massas amortecidas presas a “molas” que respondem a um campo elétrico harmônico. A equação de movimento é
levando, em regime harmônico, à polarização
Isso implica a susceptibilidade
e a permitividade
com
. A parte imaginária de
dá absorptiones em forma de Lorentziana centradas em
(largura ~
), a parte real governa a dispersão do índice
via
. O modelo explica dispersão e absorção qualitativamente, conecta-se ao modelo de Drude quando
, e respeita causalidade (relações de Kramers–Kronig), mas tem limitações por ser clássico e linear.