Propriedades ópticas de sólidos (interação da luz com a matéria):
4. Descreva o Modelo oscilador de Lorenz para sólidos.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva o Modelo oscilador de Lorenz para sólidos. As informações implícitas são: quero entender o que é o modelo, a equação que o define, como se relaciona com a polarização e a função dielétrica, o que os parâmetros físicos significam, como o modelo explica dispersão e absorção e quais são suas aplicações e limitações. Não há dados numéricos a resolver — é uma descrição teórica com derivação das fórmulas principais.

Passo 2

Primeiro, a ideia física (imagem mental). Imagine um elétron ligado a um átomo ou íon dentro de um sólido por uma “mola” efetiva que tenta restaurá-lo à posição de equilíbrio. Quando um campo elétrico E(t) da luz incide, ele força o elétron a oscilar. Há também perda de energia (atrito, espalhamento) que é modelada por um termo de amortecimento. Essa analogia massa-mola-amortecedor é o coração do Modelo de Lorenz — um modelo clássico que transforma a resposta microscópica (elétron oscilando) numa resposta macroscópica (polarização P, permissividade \varepsilon, índice de refração).

Passo 3

Escrevendo a equação de movimento para um elétron ligado (passo a passo e definindo cada variável). Considere um elétron de massa m e carga -e sujeito a:
  • força restauradora linear com frequência natural \omega_0,
  • força dissipativa proporcional à velocidade com coeficiente \gamma,
  • força externa do campo elétrico E(t).
A equação de movimento é
m\ddot{x}(t) + m\gamma \dot{x}(t) + m\omega_0^2 x(t) = -e\,E(t).
Aqui \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade, x o deslocamento do elétron em relação ao equilíbrio, \gamma tem dimensões de frequência (taxa de amortecimento), e \omega_0 é a frequência de ressonância da “mola”.

Passo 4

Resolução da equação para estado estacionário com campo harmônico. Em óptica assumimos um campo monocrômatico
E(t)=E_0 e^{-i\omega t},
e procuramos uma solução também proporcional a e^{-i\omega t}. Substituindo e simplificando, obtemos a resposta em frequência:
x(\omega)=\frac{-e}{m}\frac{E(\omega)}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.
Explico: substituí \ddot{x}\to -\omega^2 x e \dot{x}\to -i\omega x; o sinal imaginário i aparece por causa da derivada temporal na representação complexa. Esta é a amplitude estacionária do deslocamento em função da frequência da luz \omega.

Passo 5

Do deslocamento à dipolarização. O dipolo de um único elétron (momento dipolar) é
p(\omega) = -e\,x(\omega).
Substituindo x(\omega) obtemos
p(\omega) = \frac{e^2}{m}\frac{E(\omega)}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.
Se houver N elétrons (ou N osciladores por unidade de volume) idênticos, a polarização macroscópica é
P(\omega) = N p(\omega) = N\frac{e^2}{m}\frac{E(\omega)}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.
Aqui explico os termos: P é momento dipolar por unidade de volume; N é densidade de osciladores (m^{-3}).

Passo 6

Relacionando polarização com susceptibilidade e permissividade. Por definição linear,
P(\omega) = \varepsilon_0 \chi(\omega) E(\omega),
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \chi(\omega) é a susceptibilidade elétrica complexa. Igualando com a expressão anterior:
\chi(\omega) = \frac{N e^2}{\varepsilon_0 m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.
A função dielétrica relativa \varepsilon(\omega) é
\varepsilon(\omega) = 1 + \chi(\omega).
Na prática, às vezes incluímos um termo de fundo \varepsilon_\infty (contribuições eletrônicas mais rápidas ou ligações “internas”) e escrevemos
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \frac{N e^2}{\varepsilon_0 m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.

Passo 7

Forma alternativa com frequência plasmática e vários osciladores. É comum definir a frequência plasmática do conjunto de elétrons ligados por
\omega_p^2 \equiv \frac{N e^2}{\varepsilon_0 m}.
Então a contribuição de um oscilador é
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.
Para sólidos que têm várias ressonâncias (várias ligações, modos de fônons, transições eletrônicas) somamos termos:
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \sum_j \frac{\omega_{p,j}^2}{\omega_{0,j}^2-\omega^2-i\gamma_j\omega}.
Cada termo j tem seu \omega_{0,j}, \gamma_j e \omega_{p,j} (ou “força do oscilador”).

Passo 8

Separando parte real e imaginária — ligação com dispersão e absorção. A função dielétrica complexa pode ser escrita como
\varepsilon(\omega) = \varepsilon'(\omega) + i\,\varepsilon''(\omega).
Se isolarmos a parte imaginária de um termo de Lorentz obtemos (após multiplicar numerador e denominador pelo conjugado)
\varepsilon''(\omega) \propto \frac{\gamma\omega}{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2 + (\gamma\omega)^2}.
Isto mostra que há um pico de absorção (linha de Lorentz) centrado próximo a \omega\approx\omega_0; a largura do pico é controlada por \gamma. A parte real \varepsilon'(\omega) varia de forma característicamente dispersiva (muda rapidamente perto da ressonância), o que causa a variação do índice de refração com a frequência (dispersão).

Passo 9

Índice de refração e coeficiente de absorção. Relacionamos a permitividade com o índice complexo \tilde{n} = n + i\kappa por
\tilde{n}^2(\omega) = \varepsilon(\omega).
Assim n(\omega) (índice) e \kappa(\omega) (coeficiente de extinção) derivam da raiz quadrada da função dielétrica. A taxa de atenuação do feixe é dada por \alpha(\omega)=\dfrac{2\omega\kappa(\omega)}{c}. Perto da ressonância, \kappa aumenta (absorção) e n varia rápido — isso pode gerar regiões de dispersão normal ( dn/d\omega<0) e anômala ( dn/d\omega>0) próximas à ressonância.

Passo 10

Limites e casos especiais: relacionamento com o modelo de Drude. Se a frequência de ressonância for nula ( \omega_0=0) para portadores livres (elétrons não ligados), o modelo de Lorenz reduce-se ao modelo de Drude:
\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + i\gamma\omega},
que descreve condutores e plasmas (absorção e resposta de baixas frequências). Ou seja, Lorentz = osciladores ligados; Drude = caso livre.

Passo 11

Causalidade e relações de Kramers–Kronig. Como \varepsilon(\omega) deriva de respostas físicas causais, suas partes real e imaginária não são independentes: obedecem às relações de Kramers–Kronig. Isso significa que a absorção em uma banda determina a variação de índice em todas as frequências — por isso a forma de Lorentz (com polo no plano complexo) garante consistência causal do modelo clássico.

Passo 12

Aplicações práticas, parâmetros experimentais e limitações. O Modelo de Lorenz é usado para ajustar espectros ópticos (infravermelho para fônons, visível/UV para transições eletrônicas), para extrair \omega_0, \gamma e \omega_p dos dados. Limitações: é um modelo clássico (não captura efeitos quantizados finos como linhas de excítons com estrutura fina, efeitos de muitos corpos, bandas eletrônicas detalhadas, nem efeitos locais de campo sem correções), assume linearidade e resposta homogênea média. Ainda assim é extremamente útil como primeiro modelo e para entendimento físico de dispersão e absorção.

Resposta

O Modelo oscilador de Lorenz descreve elétrons ligados em sólidos como massas amortecidas presas a “molas” que respondem a um campo elétrico harmônico. A equação de movimento é
m\ddot{x}+m\gamma\dot{x}+m\omega_0^2 x = -eE(t),
levando, em regime harmônico, à polarização
P(\omega)=N\frac{e^2}{m}\frac{E(\omega)}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}.
Isso implica a susceptibilidade
\chi(\omega)=\frac{N e^2}{\varepsilon_0 m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}
e a permitividade
\varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty+\sum_j\frac{\omega_{p,j}^2}{\omega_{0,j}^2-\omega^2-i\gamma_j\omega},
com \omega_{p,j}^2=\dfrac{N_j e^2}{\varepsilon_0 m}. A parte imaginária de \varepsilon dá absorptiones em forma de Lorentziana centradas em \omega_{0,j} (largura ~ \gamma_j), a parte real governa a dispersão do índice n(\omega) via \tilde{n}^2(\omega)=\varepsilon(\omega). O modelo explica dispersão e absorção qualitativamente, conecta-se ao modelo de Drude quando \omega_0=0, e respeita causalidade (relações de Kramers–Kronig), mas tem limitações por ser clássico e linear.

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