Propriedades-Sejam boldsymbola e boldsymbolb números reais, boldsymbolm e boldsymboln números inteiros, temos:
f) (a times b)^n=a^n times b^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,binR e inteiro n, vale a propriedade de potenciação de produto:
(atimes b)^n = a^n times b^n
Para isso, vamos usar a definição de potência em três casos: n>0, n=0 e n<0, aplicando indução no caso positivo e definição de inverso no caso negativo.

Passo 2

Definição de potência para expoente inteiro:
a^n = underbraceatimes a times cdots times an vezes, & n>0, 1, & n=0, dfrac1a^-n, & n<0

Passo 3

Caso n>0.
Base da indução ( n=1):
(atimes b)^1 = atimes b = a^1 times b^1
Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha
(atimes b)^k = a^k times b^k
Então
(atimes b)^k+1 = (atimes b)^k times (atimes b) = (a^k times b^k)times(atimes b) = a^k+1times b^k+1
Por indução, a igualdade vale para todo ninN.

Passo 4

Caso n=0.
Por definição
(atimes b)^0 = 1 e a^0times b^0 = 1times1 = 1,
logo a igualdade também vale para n=0.

Passo 5

Caso n<0.
Escreva n=-m com m>0. Então
(atimes b)^n = (atimes b)^-m = 1(atimes b)^m = 1a^mtimes b^m = 1a^mtimes1b^m = a^-mtimes b^-m = a^ntimes b^n

Resposta

Portanto, para todo ninZ e quaisquer a,binR, vale
(atimes b)^n = a^n times b^n

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