Resolva as equações exponenciais.
d) 16^x+645=4^x+1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
16^x+645=4^x+1.
O conteúdo é equações exponenciais e vamos usar as leis de potências para escrever tudo com a mesma base antes de resolver.

Passo 2

Escrevemos
16^x=(2^4)^x=2^4x e 4^x+1=(2^2)^x+1=2^2x+2
Assim a equação vira
2^4x+645=2^2x+2

Passo 3

Multiplicamos os dois lados por 5 para eliminar o denominador:
2^4x+64=5cdot 2^2x+2
E usamos 2^2x+2=2^2cdot2^2x=4cdot2^2x, logo
2^4x+64=20,2^2x

Passo 4

Fazemos a substituição y=2^2x, notando que
2^4x=(2^2x)^2=y^2
A equação fica
y^2+64=20y

Passo 5

Reorganizamos em forma de quadrática:
y^2-20y+64=0
O discriminante é
De<a=20^2-4cdot1cdot64=400-256=144,
com raízes
y=20pm122in4,,16

Passo 6

Voltamos à variável x. Como y=2^2x, temos dois casos:
2^2x=4=2^2implies 2x=2implies x=1,
2^2x=16=2^4implies 2x=4implies x=2

Resposta

x=1 ou x=2

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