O proprietário de uma rede de postos de serviço para caminhões mantém extensos registros de suas várias transações com seus clientes. Se uma amostra aleatória de 118 desses registros acusa uma venda média de 58,22 galões de óleo diesel, com desvio padrão de 4,80 galões.
Construa um intervalo de confiança de 98 \% para a média da população que gerou esta amostra;

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=118 com média amostral \bar x = 58,22 galões e desvio-padrão amostral s=4,80 galões. Queremos um intervalo de confiança de 98\% para a média populacional \mu. O conteúdo é construção de intervalo de confiança para média quando \sigma é desconhecido.

Passo 2

Como o desvio-padrão populacional \sigma é desconhecido, usamos a distribuição t de Student com n-1=117 graus de liberdade. Para nível de confiança de 98\%, temos \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01. O valor crítico é
t_{1-\alpha/2,\,117} = t_{0,99,\,117}
cujo valor tabelado aproximado é 2,358.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da média (standard error):
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4,80}{\sqrt{118}}.

Passo 4

Numericamente,
\sqrt{118}\approx 10,8628, \quad \frac{4,80}{10,8628}\approx 0,442.
Logo \text{SE}\approx 0,442.

Passo 5

O grau de incerteza (margem de erro) é
E = t_{0,99,\,117}\times \text{SE} = 2,358 \times 0,442 \approx 1,04.

Passo 6

Portanto, o intervalo de confiança de 98\% para \mu é
\bigl(\bar x - E,\;\bar x + E\bigr) = (58,22 - 1,04,\;58,22 + 1,04) = (57,18,\;59,26).

Resposta

O intervalo de confiança de 98\% para a média populacional é (57,18,\;59,26) galões.

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