Uma proteína foi isolada como um sal de fórmula \mathrm{Na}_{20} \mathrm{P} ( P representa a molécula de proteína). A pressão osmótica de uma solução contendo 0,225 \mathrm{~g} desse sal em um volume de 10,0 \mathrm{~mL} é 0,257 \mathrm{~atm} a 25,0^{\circ} \mathrm{C}. a) calcule a massa molar do sal \mathrm{Na}_{20} Pde proteína ( \mathbf{R .} 44926 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} ); b) calcule a massa molar da proteína ( \mathbf{R .} 44443 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Massa do sal adicionada: m=0,225\\ \mathrm{g}.
    • Volume da solução: V=10,0\\ \mathrm{mL}=0,0100\\ \mathrm{L}.
    • Pressão osmótica: \pi=0,257\\ \mathrm{atm}.
    • Temperatura: T=25,0^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
    • Fórmula do sal: \mathrm{Na}_{20}\mathrm{P} (onde \mathrm{P} é a proteína).
  • O enunciado pede:
    a) a massa molar do sal \mathrm{Na}_{20}\mathrm{P};
    b) a massa molar da proteína \mathrm{P}.

Passo 2

Entender a relação física que vamos usar (explicação didática).
  • A pressão osmótica de uma solução diluída obedece à lei de van ’t Hoff, análoga à equação dos gases ideais:
\pi = i\,c\,R\,T.
Expliquei cada símbolo:
  • \pi é a pressão osmótica (em \mathrm{atm});
  • i é o fator de van ’t Hoff (número efetivo de partículas que a unidade do soluto produz ao se dissociar);
  • c é a molaridade das unidades formulares do soluto (em \mathrm{mol\;L^{-1}});
  • R é a constante de gases na forma apropriada ( R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Observação sobre i para este sal: a fórmula \mathrm{Na}_{20}\mathrm{P} sugere que, ao dissolver-se, cada fórmula se separa em 20 íons \mathrm{Na}^+ e uma entidade \mathrm{P}^{20-} (a proteína carregada), totalizando 20+1=21 partículas por unidade formulare. Logo, assumimos i=21. (Na prática, proteínas grandes podem ionizar de modo complexo, mas o enunciado apresenta o sal nessa forma, então usamos i=21.)

Passo 3

Expressar a molaridade c em função da massa e da massa molar do sal e isolar a massa molar.
  • Se M é a massa molar do sal \mathrm{Na}_{20}\mathrm{P} (em \mathrm{g\;mol^{-1}}), o número de mols de unidades-formulares dissolvidas é
n=\frac{m}{M}.
  • A molaridade é
c=\frac{n}{V}=\frac{m}{M\,V}.
  • Substituindo em \pi = i\,c\,R\,T e isolando M obtemos
\pi = i\left(\frac{m}{M\,V}\right)R\,T \quad\Rightarrow\quad M = \frac{i\,m\,R\,T}{\pi\,V}.
Aqui todas as grandezas estão nas unidades coerentes: m em \mathrm{g}, R em \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}, T em \mathrm{K}, \pi em \mathrm{atm}, V em \mathrm{L}. O resultado para M fica em \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 4

Fazer as conversões numéricas e calcular a massa molar do sal passo a passo.
  • Constantes e valores usados:
    • i=21.
    • m=0,225\\ \mathrm{g}.
    • R=0,082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    • T=298,15\\ \mathrm{K}.
    • \pi=0,257\\ \mathrm{atm}.
    • V=0,0100\\ \mathrm{L}.
  • Calcular o numerador i\,m\,R\,T em etapas:
    1. m\,R = 0,225\times 0,082057 = 0,018462825.
    2. (m\,R)\,T = 0,018462825\times 298,15 = 5,504691274 (valores com muitas casas para controlar arredondamento).
    3. i\,(m\,R\,T)=21\times 5,504691274 = 115,598516754.
  • Calcular o denominador \pi\,V:
\pi\,V = 0,257\times 0,0100 = 0,00257.
  • Finalmente,
M=\frac{115,598516754}{0,00257}=44\,980,582\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Arredondando com razão (os dados têm tipicamente 3 algarismos significativos), podemos apresentar M(\mathrm{Na}_{20}\mathrm{P})\approx 4,4981\times 10^{4}\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} ou 44\,981\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 5

Calcular a massa molar da proteína \mathrm{P}.
  • A massa molar do sal é a soma da massa molar de 20 átomos de sódio mais a massa molar da proteína:
M(\mathrm{Na}_{20}\mathrm{P}) = 20\,M_{\mathrm{Na}} + M_{\mathrm{P}}.
  • Isolando M_{\mathrm{P}}:
M_{\mathrm{P}} = M(\mathrm{Na}_{20}\mathrm{P}) - 20\,M_{\mathrm{Na}}.
  • Usando a massa atômica do sódio M_{\mathrm{Na}}=22,99\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} (valor usualmente utilizado):
20\,M_{\mathrm{Na}} = 20\times 22,99 = 459,8\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Substituindo os valores:
M_{\mathrm{P}} = 44\,980,582 - 459,8 = 44\,520,782\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Arredondando de forma coerente com os dados: M_{\mathrm{P}}\approx 4,4521\times 10^{4}\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} ou 44\,521\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Resposta

a) M(\mathrm{Na}_{20}\mathrm{P}) \approx 44\,981\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
b) M(\mathrm{P}) \approx 44\,521\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}

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