Um próton se encontra confinado dentro de uma determinada região do núcleo de um átomo, que pode ser modelada como um poço de potencial infinito.
a) Qual deve ser a largura
desta região para que a energia do nível fundamental deste próton seja igual a 5,0 MeV , valor típico da energia de ligação destas partículas no interior do núcleo? Compare o resultado com o tamanho de um núcleo, que é da ordem de
.
b) Qual seria a energia do estado fundamental de um elétron caso ele substituísse um próton dentro do núcleo do átomo? Conclua agora por que os prótons, não os elétrons, ficam dentro do núcleo atômico.
a) Qual deve ser a largura
b) Qual seria a energia do estado fundamental de um elétron caso ele substituísse um próton dentro do núcleo do átomo? Conclua agora por que os prótons, não os elétrons, ficam dentro do núcleo atômico.
Passo 1
O enunciado coloca um próton confinado num poço de potencial infinito unidimensional de largura
e pede que a energia do nível fundamental seja
. Em seguida, queremos comparar esse
com o tamanho típico do núcleo
. Depois, no item (b), usamos o mesmo poço para um elétron e vemos quanta energia ele teria no estado fundamental, concluindo por que elétrons não vivem presos no núcleo.
Passo 2
No poço infinito unidimensional, a energia do nível
é dada pela fórmula
Para o nível fundamental temos
, logo
Passo 3
Precisamos escolher
de modo que
. Isolando
na expressão acima:
Passo 4
Vamos converter
para joules e usar valores numéricos:
Constantes:
Passo 5
Substituindo em
calculamos
Isso é da mesma ordem do raio nuclear
, ou seja, faz sentido fisicamente.
Passo 6
No item (b), consideramos um elétron no mesmo poço (mesmo
). A fórmula do nível fundamental continua
mas com
.
Passo 7
Substituindo valores:
Passo 8
Convertendo para elétron-volts:
Passo 9
Esse valor é absurdamente maior que as energias de ligação nucleares (~MeV). Confinar um elétron exigiria gibis de energia, logo elétrons não ficam presos no núcleo, diferentemente dos prótons, que têm massa muito maior e, portanto, energias de quantização compatíveis com o tamanho nuclear.
Resposta
a)
, da mesma ordem de
.
b) . Elétrons exigiriam energia muito maior para ficar confinados, por isso não habitam o núcleo.
b)