Um próton se encontra confinado dentro de uma determinada região do núcleo de um átomo, que pode ser modelada como um poço de potencial infinito.
a) Qual deve ser a largura L desta região para que a energia do nível fundamental deste próton seja igual a 5,0 MeV , valor típico da energia de ligação destas partículas no interior do núcleo? Compare o resultado com o tamanho de um núcleo, que é da ordem de 10^{-14} \mathrm{~m}.
b) Qual seria a energia do estado fundamental de um elétron caso ele substituísse um próton dentro do núcleo do átomo? Conclua agora por que os prótons, não os elétrons, ficam dentro do núcleo atômico.

Passo 1

O enunciado coloca um próton confinado num poço de potencial infinito unidimensional de largura L e pede que a energia do nível fundamental seja 5{,}0\text{ MeV}. Em seguida, queremos comparar esse L com o tamanho típico do núcleo \sim10^{-14}\text{ m}. Depois, no item (b), usamos o mesmo poço para um elétron e vemos quanta energia ele teria no estado fundamental, concluindo por que elétrons não vivem presos no núcleo.

Passo 2

No poço infinito unidimensional, a energia do nível n é dada pela fórmula
E_n = \frac{n^2 h^2}{8\,m\,L^2}.
Para o nível fundamental temos n=1, logo
E_1 = \frac{h^2}{8\,m\,L^2}.

Passo 3

Precisamos escolher L de modo que E_1 = 5{,}0\text{ MeV}. Isolando L na expressão acima:
L = \sqrt{\frac{h^2}{8\,m\,E_1}}.

Passo 4

Vamos converter E_1 para joules e usar valores numéricos:
E_1 = 5{,}0\times10^6\text{ eV}\times1{,}602\times10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}} =8{,}01\times10^{-13}\text{ J}.
Constantes:
h = 6{,}626\times10^{-34}\,\text{J\cdots}, \quad m_{\text{próton}} = 1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}.ó

Passo 5

Substituindo em
L = \sqrt{\frac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{8\,(1{,}673\times10^{-27})\,(8{,}01\times10^{-13})}},
calculamos
L \approx 6{,}4\times10^{-15}\text{ m}.
Isso é da mesma ordem do raio nuclear \sim10^{-14}\text{ m}, ou seja, faz sentido fisicamente.

Passo 6

No item (b), consideramos um elétron no mesmo poço (mesmo L\approx6{,}4\times10^{-15}\text{ m}). A fórmula do nível fundamental continua
E_1 = \frac{h^2}{8\,m_{\text{el}}\,L^2},
mas com m_{\text{el}} = 9{,}11\times10^{-31}\text{ kg}.

Passo 7

Substituindo valores:
E_1 = \frac{(6{,}626\times10^{-34})^2} {8\,(9{,}11\times10^{-31})\,(6{,}4\times10^{-15})^2} \approx 6{,}0\times10^{-10}\text{ J}.

Passo 8

Convertendo para elétron-volts:
E_1 \approx \frac{6{,}0\times10^{-10}\text{ J}}{1{,}602\times10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}}} \approx 3{,}8\times10^{9}\text{ eV} = 3{,}8\text{ GeV}.

Passo 9

Esse valor é absurdamente maior que as energias de ligação nucleares (~MeV). Confinar um elétron exigiria gibis de energia, logo elétrons não ficam presos no núcleo, diferentemente dos prótons, que têm massa muito maior e, portanto, energias de quantização compatíveis com o tamanho nuclear.

Resposta

a) L \approx 6{,}4\times10^{-15}\text{ m}, da mesma ordem de 10^{-14}\text{ m}.
b) E_1^{(\text{el})}\approx3{,}8\text{ GeV}. Elétrons exigiriam energia muito maior para ficar confinados, por isso não habitam o núcleo.

Exercícios relacionados