Um próton de massa
penetra em um campo magnético uniforme
com uma velocidade inicial
. (a) Encontre as equações diferenciais que o vetor posição
deve satisfazer. (b) Demonstre que a solução dessas equações é:
onde
e
é a carga do próton. (c) Demonstre que essa solução descreve uma hélice circular no espaço.
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um próton (carga
, massa
) lançado com velocidade inicial
num campo magnético uniforme
. Vamos usar a força de Lorentz
e escrever as equações de Newton
para achar as EDOs em
, em seguida resolver essas EDOs e mostrar que a curva obtida é uma hélice circular.
Passo 2
Escrevendo
,
e
, a força de Lorentz dá
Definindo
as equações ficam
Passo 3
Da última equação
segue
. Como
, então
e integrando com
obtemos
Passo 4
Para
e
introduzimos
. Então
A solução é
Logo
Integrando e impondo
,
(escolha de fase) resulta
Passo 5
Verificamos que
constante, e
cresce linearmente. Isso caracteriza uma hélice circular de raio
e passo (avanço por volta) igual a
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Como
é constante e
cresce linearmente, a trajetória é uma hélice circular de raio
.