Um próton de massa m penetra em um campo magnético uniforme B=B0 a2 com uma velocidade inicial alpha ax+beta a2. (a) Encontre as equações diferenciais que o vetor posição r=x ax+y a1 +z a2 deve satisfazer. (b) Demonstre que a solução dessas equações é:
x=alphaomega sen omega t, y=alphaomega cos omega t, z=beta t
onde omega=e Bd / m e e é a carga do próton. (c) Demonstre que essa solução descreve uma hélice circular no espaço.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um próton (carga e, massa m) lançado com velocidade inicial
v(0)=alpha, ax+beta, a2 num campo magnético uniforme
B=B0, a2. Vamos usar a força de Lorentz
F=e, vtimes B e escrever as equações de Newton
F=m, a para achar as EDOs em x(t),y(t),z(t), em seguida resolver essas EDOs e mostrar que a curva obtida é uma hélice circular.

Passo 2

Escrevendo r=(x,y,z), v=(dot x,dot y,dot z) e
B=(0,0,B0), a força de Lorentz dá
mddot x = e(dot y,B0), mddot y = -e(dot x,B0), mddot z = 0
Definindo
omega=eB0m,
as equações ficam
ddot x=omega,dot y, ddot y=-omega,dot x, ddot z=0

Passo 3

Da última equação ddot z=0 segue dot z=C1. Como dot z(0)=beta, então
dot z=beta e integrando com z(0)=0 obtemos
z(t)=beta,t

Passo 4

Para x e y introduzimos u=dot x+idot y. Então
dot u = ddot x + iddot y = omega,dot y - iomega,dot x = -,iomega,(dot x+idot y) = -,iomega,u
A solução é
u(t)=u(0)e^-iomega t =alpha,e^-iomega t =alpha(cosomega t - isinomega t)
Logo
dot x=alphacosomega t, dot y=-alphasinomega t
Integrando e impondo x(0)=0, y(0)=alpha/omega (escolha de fase) resulta
x(t)=alphaomegasinomega t, y(t)=alphaomegacosomega t

Passo 5

Verificamos que
x^2+y^2 =alpha^2omega^2(sin^2omega t+cos^2omega t) =l(tfracalphaomegar)^2,
constante, e z(t)=beta t cresce linearmente. Isso caracteriza uma hélice circular de raio alpha/omega e passo (avanço por volta) igual a 2pibeta/omega.

Resposta

(a)
mddot x = eB0dot y, mddot y = -eB0dot x, mddot z = 0
(b)
x(t)=alphaomegasinomega t, y(t)=alphaomegacosomega t, z(t)=beta t, omega=eB0m
(c) Como x^2+y^2=(alpha/omega)^2 é constante e z cresce linearmente, a trajetória é uma hélice circular de raio alpha/omega.

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