Dois fios longos iguais, de raio 1 mm , são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos. A distância entre os eixos centrais dos fios é 20 cm . Despreze o fluxo no interior dos fios, mas considere o fluxo na região entre os fios. Qual é a indutância dos fios por unidade de comprimento?

Passo 1

Beleza, o exercício diz: dois fios longos iguais de raio a=1rm,mm, separados centro a centro por d=20rm,cm, carregam correntes iguais I em sentidos opostos. A gente vai usar a Lei de Ampère pra achar o campo B entre eles, depois calcular o fluxo magnético daquela faixa “entre” os fios e, por fim, usar a definição de indutância por comprimento
L'=lambdaI,
onde lambda é o fluxo vinculado por unidade de comprimento. Negligenciamos o fluxo dentro dos fios (interno) e só consideramos o da região entre eles (externo).

Passo 2

Em qualquer ponto a uma distância x do eixo do fio 1 (e, portanto, a d-x do fio 2), os módulos dos campos são, pela Lei de Ampère,
B1(x)=mu0,I2pi,x, B2(x)=mu0,I2pi,(d-x)
Como as correntes são opostas, entre os fios esses campos apontam no mesmo sentido e somam. Logo
Brm tot(x) = B1(x)+B2(x) =mu0,I2pil(tfrac1x+tfrac1d-xr)

Passo 3

O fluxo vinculado por unidade de comprimento é a integral de Brm tot sobre a “fita” de largura dx e comprimento 1,m, indo do raio do fio 1 ( x=a) até o ponto simétrico no fio 2 ( x=d-a):
lambda =integrala^,d-a Brm tot(x),dx =mu0,I2piintegrala^,d-a!l(tfrac1x+tfrac1d-xr),dx =mu0,Ipilnd-aa
Daí
L'=lambdaI =mu0pilnd-aa

Passo 4

Agora é só pôr d=0,20,m e a=0,001,m:
L' =4pitimes10^-7piln0,20-0,0010,001 =4times10^-7ln(199) approx2,12times10^-6,H/m

Resposta

A indutância por unidade de comprimento vale aproximadamente
boxedL'approx2,1times10^-6,H/m

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