1. (PUC-CAMP-2010) Um forno aquecido a carvão atinge a temperatura \theta. Uma peça de aço de massa 400 g é retirada do forno a essa temperatura e introduzida, juntamente com 40 g de gelo a -20^{\circ} \mathrm{C}, em um calorímetro de cobre com capacidade térmica 40 \mathrm{cal} /{ }^{\circ} \mathrm{C} que está a temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. O equilíbrio térmico é estabelecido a 80^{\circ} \mathrm{C}. Nessas condições, a temperatura \theta do forno, em { }^{\circ} \mathrm{C}, vale
    (Dados:calorespecíficodaágua =1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C};calorespecíficodogelo =0,50 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C};calorespecíficodoaço =0,10 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}; calor latente de fusão do gelo =80 \mathrm{cal} / \mathrm{g} ).
    (A) 270
    (B) 290
    (C) 310
    (D) 330
    (E) 350

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (colocados de forma explícita para não nos perdermos):
  • Massa da peça de aço: m_{\text{aço}}=400\\ \text{g}ç.
  • Temperatura inicial da peça de aço: \theta (temperatura do forno), incógnita.
  • Massa do gelo: m_{\text{gelo}}=40\\ \text{g}.
  • Temperatura inicial do gelo: -20^\circ\mathrm{C}.
  • Calorímetro de cobre com capacidade térmica (calor específico vezes massa já combinado): C_{\text{cal}}=40\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C} e temperatura inicial 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de equilíbrio final: 80^\circ\mathrm{C}.
  • Calores específicos (dados):
    • Água: c_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}á.
    • Gelo (sólido): c_{\text{gelo}}=0,50\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
    • Aço: c_{\text{aço}}=0,10\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}ç.
  • Calor latente de fusão do gelo: L=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
O que o enunciado pede: determinar a temperatura \theta do forno em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicadinho): energia interna é conservada quando só há troca de calor entre as partes isoladas. Ou seja, o calor perdido pela peça quente (aço) ao esfriar de \theta para 80^\circ\mathrm{C} é igual ao calor ganho por tudo o mais (calorímetro + gelo, incluindo aquecimento do gelo, fusão e aquecimento da água resultante) para chegar a 80^\circ\mathrm{C}.
Fórmulas básicas que usaremos (e o que significam):
  • Para aquecer ou esfriar uma substância sem mudança de fase: \displaystyle Q=m\,c\,\Delta T, onde Q é o calor (positivo se recebido), m é a massa, c é o calor específico e \Delta T é a variação de temperatura (final menos inicial).
  • Para a fusão (mudança de fase sólido→líquido) à temperatura de fusão: \displaystyle Q=m\,L, onde L é o calor latente (energia necessária por grama).
  • Para um corpo com capacidade térmica C (como o calorímetro dado): \displaystyle Q=C\,\Delta T.
Escrevendo a conservação de energia em forma simbólica:
\underbrace{m_{\text{aço}}\,c_{\text{aço}}(\theta-80)}_{\text{calor perdido pelo aço}}= \underbrace{C_{\text{cal}}(80-20)}_{\text{calor ganho pelo calorímetro}}+ \underbrace{m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}(0-(-20))}_{\text{aquec. do gelo de -20 a 0}}+ \underbrace{m_{\text{gelo}}\,L}_{\text{fusão do gelo}}+ \underbrace{m_{\text{gelo}}\,c_{\text{água}}(80-0)}_{\text{aquec. da água de 0 a 80}}.çççíãáá
Na equação acima cada termo está escrito seguindo a regra Q=m c \Delta T ou Q=mL; os sinais estão coerentes: o aço perde calor (termo à esquerda positivo quando \theta>80) e o restante ganha calor.

Passo 3

Calor absorvido pelo calorímetro (ele parte de 20^\circ\mathrm{C} e vai a 80^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{cal}}=C_{\text{cal}}(80-20).
Substituindo C_{\text{cal}}=40\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{cal}}=40\cdot(80-20)=40\cdot60=2400\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

Calor necessário para aquecer o gelo de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} (estado sólido):
Q_{\text{gelo,aq}}=m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-20)).
Substituindo m_{\text{gelo}}=40\\ \mathrm{g} e c_{\text{gelo}}=0,50\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{gelo,aq}}=40\cdot0,50\cdot20=40\cdot10=400\\ \mathrm{cal}.

Passo 5

Calor necessário para fundir todo o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{fusão}}=m_{\text{gelo}}\,L.ã
Substituindo L=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}:
Q_{\text{fusão}}=40\cdot80=3200\\ \mathrm{cal}.ã

Passo 6

Calor para aquecer a água (resultado da fusão) de 0^\circ\mathrm{C} até 80^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{água,aq}}=m_{\text{gelo}}\,c_{\text{água}}\,(80-0).áá
Substituindo c_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}á:
Q_{\text{água,aq}}=40\cdot1,0\cdot80=3200\\ \mathrm{cal}.á

Passo 7

Somamos todos os calores ganhos pelo sistema frio (calorímetro + gelo/água):
Q_{\text{ganho}}=Q_{\text{cal}}+Q_{\text{gelo,aq}}+Q_{\text{fusão}}+Q_{\text{água,aq}}.ãá
Substituindo os valores calculados:
Q_{\text{ganho}}=2400+400+3200+3200=9200\\ \mathrm{cal}.

Passo 8

Agora calculamos o calor perdido pelo aço ao esfriar de \theta para 80^\circ\mathrm{C}. Primeiro sua capacidade térmica (produto massa·calor específico):
m_{\text{aço}}\,c_{\text{aço}}=400\cdot0,10=40\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.çç
O calor perdido pelo aço é, portanto,
Q_{\text{aço}}=40(\theta-80).ç
Pela conservação de energia temos Q_{\text{aço}}=Q_{\text{ganho}}ç, ou seja
40(\theta-80)=9200.

Passo 9

Resolvendo a equação:
\theta-80=\frac{9200}{40}=230,
portanto
\theta=80+230=310.

Resposta

\,310^\circ\mathrm{C}

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