5 - Em competições de robótica, um robô deve ser programado para lançar uma pequena esfera por cima de um obstáculo fixo para acertar uma cesta do outro lado. Considerando o princípio da independência dos movimentos de Galileu, quais fatores determinam exclusivamente a altura máxima que a esfera alcançará no topo de sua trajetória parabólica? É necessário conhecer a velocidade horizontal do robô para calcular essa altura?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Identificar quais fatores determinam, exclusivamente, a altura máxima atingida pela esfera no movimento parabólico.
  • Responder se é necessário conhecer a velocidade horizontal do robô para calcular essa altura.
Informações/importantes dadas (assunções padrão para projéteis):
  • Aplica-se o princípio da independência dos movimentos de Galileu (movimento horizontal e vertical são tratados separadamente).
  • Despreza-se resistência do ar e forças além do peso (ou seja, aceleração vertical é \,g constante para baixo).
  • Pode haver uma altura inicial de lançamento; vou chamá‑la de y_0.

Passo 2

Entendendo a independência dos movimentos (explicação didática):
  • Imagine o lançamento como dois movimentos sobrepostos: um movimento horizontal e outro movimento vertical.
  • O movimento horizontal diz respeito apenas à componente horizontal da velocidade e à posição horizontal; não tem aceleração vertical (se ignorarmos arrasto), só mantém velocidade horizontal constante.
  • O movimento vertical é um MUV (movimento uniformemente variado) com aceleração constante igual a -g (para baixo).
  • Importante: os dois movimentos compartilham o mesmo tempo t, mas as equações que determinam a altura envolvem só a parte vertical. Por isso, para a altura máxima só interessa o que acontece verticalmente.

Passo 3

Equação do movimento vertical (introdução das variáveis e fórmula):
  • Definir variáveis:
    • y(t): altura vertical da esfera no instante t.
    • y_0: altura inicial de lançamento (em t=0).
    • v_{0y}: componente vertical da velocidade inicial (positiva para cima).
    • g: módulo da aceleração da gravidade (por exemplo \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • A equação do deslocamento vertical, tomada como MUV, é
y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Expliquei cada termo: y_0 é ponto de partida, v_{0y}t a contribuição inicial de velocidade, e -\tfrac{1}{2}g t^2 o efeito da gravidade que faz a esfera subir menos conforme o tempo passa.

Passo 4

Determinar o instante de tempo da altura máxima (conceito e cálculo):
  • No ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical é zero (a esfera para de subir e começa a descer).
  • A velocidade vertical é derivada de y(t):
v_y(t)=\frac{dy}{dt}=v_{0y}-g t.
  • Impor v_y(t_{\max})=0
0=v_{0y}-g t_{\max}\quad\Rightarrow\quad t_{\max}=\frac{v_{0y}}{g}.
Interpretação: quanto maior a componente vertical inicial v_{0y}, mais tempo demora até parar de subir.

Passo 5

Calcular a altura máxima substituindo t_{\max} em y(t) (passo‑a‑passo algébrico):
  • Substituir t_{\max} em y(t):
y_{\max}=y(t_{\max})=y_0+v_{0y}\left(\frac{v_{0y}}{g}\right)-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{v_{0y}}{g}\right)^2.
  • Simplificar termo a termo:
y_{\max}=y_0+\frac{v_{0y}^2}{g}-\tfrac{1}{2}g\cdot\frac{v_{0y}^2}{g^2} = y_0+\frac{v_{0y}^2}{g}-\frac{1}{2}\cdot\frac{v_{0y}^2}{g}.
y_{\max}=y_0+\left(1-\tfrac{1}{2}\right)\frac{v_{0y}^2}{g} = y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}.
  • Portanto a fórmula final (muito usada em provas) é
y_{\max}=y_0+\frac{v_{0y}^2}{2g}.
Expliquei: essa relação fornece a altura máxima a partir da altura inicial, da componente vertical da velocidade inicial e da gravidade.

Passo 6

Interpretação prática e resposta direta à pergunta sobre a velocidade horizontal:
  • Observando a fórmula \,y_{\max}=y_0+\dfrac{v_{0y}^2}{2g}, nota‑se que y_{\max} depende exclusivamente de:
    • y_0 (altura inicial de lançamento),
    • v_{0y} (componente vertical da velocidade inicial),
    • g (aceleração da gravidade).
  • A velocidade horizontal (a componente v_{0x} ou a velocidade total na direção horizontal) NÃO aparece na fórmula: ela não influencia a altura máxima quando arrasto é desprezado.
  • Conclusão curta: não é necessário conhecer a velocidade horizontal para calcular a altura máxima; é necessário conhecer a componente vertical da velocidade inicial (ou a velocidade total e o ângulo de lançamento, porque v_{0y}=v_0\sin\theta).

Passo 7

Exemplo numérico simples (para fixar a ideia):
  • Suponha lançamento do solo ( y_0=0), v_0=10\\ \mathrm{m/s} e ângulo \theta=30^\circ.
  • Primeiro calcule v_{0y}:
v_{0y}=v_0\sin\theta=10\sin 30^\circ=10\cdot\tfrac{1}{2}=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e a fórmula:
y_{\max}=0+\frac{5^2}{2\cdot 9,8}=\frac{25}{19,6}\approx 1,28\\ \mathrm{m}.
  • Observação: se só soubesse a velocidade horizontal v_{0x}=v_0\cos\theta (aqui v_{0x}=10\cos 30^\circ), isso não ajudaria a obter y_{\max} sem também saber o ângulo ou v_{0y}.

Passo 8

Caveats importantes e encorajamento:
  • Tudo acima assume ausência de resistência do ar e que g é conhecido e constante. Com arrasto aerodinâmico, a altura máxima também passa a depender de características da esfera (forma, massa, coeficiente de arrasto) e do módulo horizontal pode influenciar indiretamente via arrasto; aí a resposta muda.
  • Se o robô estiver se movendo e a velocidade de lançamento for medida em relação ao robô versus ao solo, atenção às referências: a componente vertical relevante é a medida em relação ao solo.
  • Força aí: na prova, memorize a fórmula \,y_{\max}=y_0+\dfrac{v_{0y}^2}{2g} e o conceito de independência dos movimentos — isso resolve rapidamente perguntas desse tipo. Você consegue!

Resposta

A altura máxima depende exclusivamente de y_0 (altura inicial), v_{0y} (componente vertical da velocidade inicial) e g (aceleração da gravidade): y_{\max}=y_0+\dfrac{v_{0y}^2}{2g}.
Não, não é necessário conhecer a velocidade horizontal do robô para calcular a altura máxima (quando se despreza resistência do ar).

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