Um próton parte do repouso da superfície de uma esfera de 1,0 cm de diâmetro que foi carregada até +1000 V .
a. Qual é a carga da esfera?
b. Qual é a velocidade do próton a 1,0 cm da esfera?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera condutora de diâmetro 1,0:cm carregada a +1000:V (referência no infinito). Um próton parte do repouso na superfície dessa esfera e vai até 1,0:cm do centro. Precisamos usar dois conceitos:
  1. A relação entre potencial e carga de uma esfera isolada,
  2. Conservação da energia mecânica (energia potencial elétrica se converte em cinética).

Passo 2

Para achar a carga Q da esfera usamos
V = k,QR,
onde V=1000:V, R=tfracd2=0,005:m e k=8,99times10^9:N,m^2/C^2. Logo
Q = V,Rk = (1000)(0,005)8,99times10^9 approx 5,56times10^-10:C

Passo 3

O próton (carga q=+e=1,602times10^-19:C) sofre uma queda de energia potencial elétrica ao se afastar de R até r=1,0:cm=0,01:m. A variação de energia potencial é
De<a U = k,Q,ql(1R-1rr) = (8,99times10^9)(5,56times10^-10)(1,602times10^-19) l(10,005-10,01r)
Como tfrac10,005-tfrac10,01=200-100=100:m^-1, temos
De<a U approx 8,02times10^-17:J
Essa energia vira energia cinética do próton.

Passo 4

Pela conservação da energia,
12 m v^2 = De<a U,
onde m=1,672times10^-27:kg. Logo
v = raiz2,De<a Um = raiz2(8,02times10^-17)1,672times10^-27 approx 3,10times10^5:m/s

Resposta

(a) Qapprox 5,56times10^-10:C
(b) vapprox 3,1times10^5:m/s

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