Um próton possui inicialmente v = 4,0i - 2,0j + 3,0k e então 4,0 s mais tarde possui v = -2,0i - 2,0j + 5,0k (em metros por segundo). Para aqueles 4,0 s, qual é a aceleração média do próton (améd) (a) na notação de vetor unitário e (b) com um módulo, uma direção e um sentido?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um próton que começa com uma certa velocidade e, após 4,0 segundos, sua velocidade muda. A pergunta quer saber qual foi a aceleração média desse próton nesse intervalo de tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente sobre aceleração média. Vamos precisar entender como calcular a mudança na velocidade e depois dividir pelo tempo para encontrar a aceleração média.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as velocidades inicial e final do próton. A velocidade inicial ( vi) é dada por:
vi = 4,0,i - 2,0,j + 3,0,k m/s
E a velocidade final ( vf) é:
vf = -2,0,i - 2,0,j + 5,0,k m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação da velocidade ( De). Isso é feito subtraindo a velocidade inicial da final:
De
Fazendo as contas componente por componente:
De
De
De

Passo 4

Sabemos que a aceleração média ( amédé) é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo durante o qual essa variação ocorreu. A fórmula é:
améd = Deé
Aqui, De. Então,
améd = -6,0,i + 0,j + 2,0,k4,0,s é

Passo 5

Dividindo cada componente por 4,0 s, temos:
améd = ( -6,04,0 ),i + ( 04,0 ),j + ( 2,04,0 ),k é
améd = -1,5,i + 0,j + 0,5,k m/s^2 é

Passo 6

Então, temos a aceleração média na notação de vetor unitário. Agora, vamos calcular o módulo dessa aceleração, ou seja, o quanto ela realmente “puxa” o próton, considerando todas as direções.
A fórmula para o módulo de um vetor a = ax,i + ay,j + az,k é:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Aplicando os valores que encontramos:
|améd| = raiz(-1,5)^2 + 0^2 + (0,5)^2 é
|améd| = raiz2,25 + 0 + 0,25 = raiz2,5 approx 1,581,m/s^2 é

Resposta

(a) A aceleração média do próton na notação de vetor unitário é améd = -1,5,i + 0,j + 0,5,k m/s^2é.
(b) O módulo da aceleração média é aproximadamente 1,581,m/s^2, com direção definida pelas componentes do vetor e sentido conforme os sinais das componentes.

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