Em sua fase de projeto um carro de competição passou por alguns testes que mostraram que o seu coeficiente de arrasto é 1,42 sempre que o número de Reynolds for maior que
. O carro pesa 7000 N e, após atingir a velocidade de
, o piloto abre o paraquedas de frenagem, de área
. Considere
, o ar padrão (massa específica
, viscosidade cinemática
) e admita que a força de arrasto é alta o suficiente de modo que as outras forças possam ser desprezadas.
(a) Calcule o número de Reynolds do escoamento e diga se a hipótese utilizada para o coeficiente de arrasto é válida.
(b) Determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para
.
(c) Calcule a força de arrasto provocada no veículo para que ele adquira esta desaceleração.
(a) Calcule o número de Reynolds do escoamento e diga se a hipótese utilizada para o coeficiente de arrasto é válida.
(b) Determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para
(c) Calcule a força de arrasto provocada no veículo para que ele adquira esta desaceleração.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei todos estes números do enunciado):
- Coeficiente de arrasto:
(válido se o número de Reynolds for maior que ). - Peso do carro:
. - Velocidades: velocidade inicial
e velocidade final . - Área do paraquedas:
. - Aceleração da gravidade:
. - Ar padrão: massa específica
; viscosidade cinemática . - Admitir que a força de arrasto domina (as outras forças podem ser desprezadas).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o número de Reynolds do escoamento e dizer se a hipótese (válida para
) é aplicável.
(b) Determinar o tempo necessário para o veículo desacelerar de até
.
(c) Calcular a força de arrasto no veículo que provoca essa desaceleração (vou explicar que a força depende da velocidade e vou dar valores representativos).
(a) Calcular o número de Reynolds do escoamento e dizer se a hipótese
(b) Determinar o tempo necessário para o veículo desacelerar de
(c) Calcular a força de arrasto no veículo que provoca essa desaceleração (vou explicar que a força depende da velocidade e vou dar valores representativos).
Observação prática imediata: converter as velocidades para unidades SI.
Passo 2
Vamos avaliar o número de Reynolds. Primeiro preciso escolher um comprimento característico
. Para um paraquedas plano/aproximado, é razoável tomar como comprimento característico o diâmetro equivalente
do disco que tem área
. Ou seja,
Calculemos
:
O número de Reynolds é definido por
onde
é a velocidade característica do escoamento (aqui tomamos
),
e
é a viscosidade cinemática do ar. Substituindo:
Passo 3
Interpretação do resultado de (a): o valor encontrado
é muito maior que
. Portanto a hipótese usada pelo enunciado — isto é, que o coeficiente de arrasto vale
sempre que
— é válida para o regime de velocidades aqui considerado.
Passo 4
Agora vamos resolver o problema da desaceleração dominada por arrasto. A força de arrasto quadraticamente dependente da velocidade é dada por
Como só essa força atua (apenas arrasto, sentido contrário ao movimento), a equação do movimento é
onde
é a massa do veículo. Esta é uma equação diferencial separável em
e
. Antes de integrar, calculamos
a partir do peso:
Reescrevendo a equação:
Integrando de
a
(velocidades) e de
a
(tempo):
A integral à esquerda é
. Portanto:
Isolando
:
Esta fórmula é útil: ela vem diretamente da lei
e da separação de variáveis.
Passo 5
Calcule numericamente o tempo usando os dados:
-
, -
, -
, -
, -
, -
.
Primeiro o fator pré-multiplicador:
Agora o parêntese com as velocidades:
Multiplicando,
Portanto o tempo necessário para a velocidade cair de
para
é aproximadamente
.
Comentário motivador: dá para ver direto da fórmula que, por ser arrasto proporcional a
, o tempo depende das inversas das velocidades, não linearmente das velocidades.
Passo 6
Agora a força de arrasto que provoca essa desaceleração. A expressão geral é
Esta força varia com a velocidade; portanto a desaceleração instantânea é
Para dar números representativos, calculo
nos extremos do intervalo de velocidades e também a força média equivalente ao valor constante de força que produziria a mesma variação de velocidade num tempo
.
Primeiro calcule o fator
:
- Força de arrasto inicial (em
):
- Força de arrasto final (em
):
- Força média equivalente (usar desaceleração média
em módulo):
A força média que produziria essa desaceleração é
Interpretação rápida: a força de arrasto é muito alta no início (
) e cai com
até
em
. A força média equivalente para a queda de velocidade no tempo calculado é
.
Resposta
(a)
. Sim, a hipótese
é válida.
(b) .
(c) . Valores numéricos representativos:
,
; força média equivalente
.
(b)
(c)