Em sua fase de projeto um carro de competição passou por alguns testes que mostraram que o seu coeficiente de arrasto é 1,42 sempre que o número de Reynolds for maior que 10^{3}. O carro pesa 7000 N e, após atingir a velocidade de 360 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, o piloto abre o paraquedas de frenagem, de área A =2,0 \mathrm{~m}^{2}. Considere g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, o ar padrão (massa específica =1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, viscosidade cinemática =1,46 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) e admita que a força de arrasto é alta o suficiente de modo que as outras forças possam ser desprezadas.
(a) Calcule o número de Reynolds do escoamento e diga se a hipótese utilizada para o coeficiente de arrasto é válida.
(b) Determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para 144 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(c) Calcule a força de arrasto provocada no veículo para que ele adquira esta desaceleração.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei todos estes números do enunciado):
  • Coeficiente de arrasto: C_{D}=1{,}42 (válido se o número de Reynolds for maior que 10^{3}).
  • Peso do carro: W=7000\\ \mathrm{N}.
  • Velocidades: velocidade inicial v_{0}=360\\ \mathrm{km/h} e velocidade final v_{1}=144\\ \mathrm{km/h}.
  • Área do paraquedas: A=2{,}0\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Ar padrão: massa específica \rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^{3}}; viscosidade cinemática \nu=1{,}46\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Admitir que a força de arrasto domina (as outras forças podem ser desprezadas).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o número de Reynolds do escoamento e dizer se a hipótese C_{D}=1{,}42 (válida para \mathrm{Re}>10^{3}) é aplicável.
(b) Determinar o tempo necessário para o veículo desacelerar de v_{0} até v_{1}.
(c) Calcular a força de arrasto no veículo que provoca essa desaceleração (vou explicar que a força depende da velocidade e vou dar valores representativos).
Observação prática imediata: converter as velocidades para unidades SI.
v_{0}=\frac{360}{3{,}6}=100\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{1}=\frac{144}{3{,}6}=40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Vamos avaliar o número de Reynolds. Primeiro preciso escolher um comprimento característico L. Para um paraquedas plano/aproximado, é razoável tomar como comprimento característico o diâmetro equivalente D do disco que tem área A. Ou seja,
A=\frac{\pi D^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Calculemos D:
D=\sqrt{\frac{4\cdot2{,}0}{\pi}}=\sqrt{\frac{8}{\pi}}\approx1{,}595\\ \mathrm{m}.
O número de Reynolds é definido por
\mathrm{Re}=\frac{U L}{\nu},
onde U é a velocidade característica do escoamento (aqui tomamos U=v_{0}=100\\ \mathrm{m/s}), L=D e \nu é a viscosidade cinemática do ar. Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{100\cdot1{,}595}{1{,}46\times10^{-5}}\approx1{,}09\times10^{7}.

Passo 3

Interpretação do resultado de (a): o valor encontrado
\mathrm{Re}\approx1{,}09\times10^{7}
é muito maior que 10^{3}. Portanto a hipótese usada pelo enunciado — isto é, que o coeficiente de arrasto vale C_{D}=1{,}42 sempre que \mathrm{Re}>10^{3} — é válida para o regime de velocidades aqui considerado.

Passo 4

Agora vamos resolver o problema da desaceleração dominada por arrasto. A força de arrasto quadraticamente dependente da velocidade é dada por
F_{D}(v)=\frac{1}{2}\,\rho\,C_{D}\,A\,v^{2}.
Como só essa força atua (apenas arrasto, sentido contrário ao movimento), a equação do movimento é
m\frac{dv}{dt}=-\frac{1}{2}\rho C_{D}A v^{2},
onde m é a massa do veículo. Esta é uma equação diferencial separável em v e t. Antes de integrar, calculamos m a partir do peso:
m=\frac{W}{g}=\frac{7000}{9{,}81}\approx713{,}25\\ \mathrm{kg}.
Reescrevendo a equação:
\frac{dv}{v^{2}}=-\frac{1}{2}\frac{\rho C_{D}A}{m}\,dt.
Integrando de v_{0} a v_{1} (velocidades) e de 0 a t (tempo):
\int_{v_{0}}^{v_{1}}\frac{dv}{v^{2}}=-\frac{1}{2}\frac{\rho C_{D}A}{m}\int_{0}^{t}dt.
A integral à esquerda é \left[-\dfrac{1}{v}\right]_{v_{0}}^{v_{1}}=\dfrac{1}{v_{1}}-\dfrac{1}{v_{0}}. Portanto:
\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{v_{0}}=-\frac{1}{2}\frac{\rho C_{D}A}{m}\,t.
Isolando t:
t=\frac{2m}{\rho C_{D}A}\left(\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{v_{0}}\right).
Esta fórmula é útil: ela vem diretamente da lei F\propto v^{2} e da separação de variáveis.

Passo 5

Calcule numericamente o tempo usando os dados:
  • m\approx713{,}25\\ \mathrm{kg},
  • \rho=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • C_{D}=1{,}42,
  • A=2{,}0\\ \mathrm{m^{2}},
  • v_{0}=100\\ \mathrm{m/s},
  • v_{1}=40\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro o fator pré-multiplicador:
\frac{2m}{\rho C_{D}A}=\frac{2\cdot713{,}25}{1{,}23\cdot1{,}42\cdot2{,}0} =\frac{1426{,}5}{3{,}4932}\approx408{,}60\\ \mathrm{s\cdot m}.
Agora o parêntese com as velocidades:
\frac{1}{v_{1}}-\frac{1}{v_{0}}=\frac{1}{40}-\frac{1}{100}=0{,}025-0{,}01=0{,}015\\ \mathrm{s/m}.
Multiplicando,
t\approx408{,}60\times0{,}015\approx6{,}13\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo necessário para a velocidade cair de 360\\ \mathrm{km/h} para 144\\ \mathrm{km/h} é aproximadamente 6{,}13\\ \mathrm{s}.
Comentário motivador: dá para ver direto da fórmula que, por ser arrasto proporcional a v^{2}, o tempo depende das inversas das velocidades, não linearmente das velocidades.

Passo 6

Agora a força de arrasto que provoca essa desaceleração. A expressão geral é
F_{D}(v)=\frac{1}{2}\rho C_{D}A v^{2}.
Esta força varia com a velocidade; portanto a desaceleração instantânea é
a(v)=\frac{dv}{dt}=-\frac{F_{D}(v)}{m}=-\frac{1}{2}\frac{\rho C_{D}A}{m}v^{2}.
Para dar números representativos, calculo F_{D} nos extremos do intervalo de velocidades e também a força média equivalente ao valor constante de força que produziria a mesma variação de velocidade num tempo t.
Primeiro calcule o fator \tfrac{1}{2}\rho C_{D}A:
\frac{1}{2}\rho C_{D}A=\frac{1}{2}\cdot1{,}23\cdot1{,}42\cdot2{,}0\approx1{,}7466\\ \mathrm{kg/m}.
  • Força de arrasto inicial (em v_{0}=100\\ \mathrm{m/s}):
F_{D}(100)=1{,}7466\times100^{2}=1{,}7466\times10000\approx17466\\ \mathrm{N}\\ (\approx1{,}75\times10^{4}\\ \mathrm{N}).
  • Força de arrasto final (em v_{1}=40\\ \mathrm{m/s}):
F_{D}(40)=1{,}7466\times40^{2}=1{,}7466\times1600\approx2794{,}6\\ \mathrm{N}\\ (\approx2{,}79\times10^{3}\\ \mathrm{N}).
  • Força média equivalente (usar desaceleração média \bar{a}=\dfrac{\Delta v}{t}=\dfrac{v_{1}-v_{0}}{t} em módulo):
\bar{a}=\frac{100-40}{6{,}13}\approx9{,}79\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A força média que produziria essa desaceleração é
\bar{F}=m\bar{a}\approx713{,}25\times9{,}79\approx6986\\ \mathrm{N}\\ (\approx6{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{N}).
Interpretação rápida: a força de arrasto é muito alta no início ( \sim1{,}75\times10^{4}\\ \mathrm{N}) e cai com v^{2} até \sim2{,}79\times10^{3}\\ \mathrm{N} em 40\\ \mathrm{m/s}. A força média equivalente para a queda de velocidade no tempo calculado é \sim6{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) \mathrm{Re}\approx1{,}09\times10^{7}. Sim, a hipótese C_{D}=1{,}42 é válida.
(b) t\approx6{,}13\\ \mathrm{s}.
(c) F_{D}(v)=\dfrac{1}{2}\rho C_{D}A v^{2}. Valores numéricos representativos: F_{D}(100\\ \mathrm{m/s})\approx1{,}75\times10^{4}\\ \mathrm{N}, F_{D}(40\\ \mathrm{m/s})\approx2{,}79\times10^{3}\\ \mathrm{N}; força média equivalente \bar{F}\approx6{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{N}.

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