Um protótipo de uma grande bomba será projetado para bombear 1,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água com uma pressão de 400 kPa . O rotor da bomba terá 40 cm de diâmetro. Nos ensaios será usado o modelo com um rotor de 8 cm de diâmetro. Qual deve ser a vazão aplicada no ensaio e qual o aumento da pressão esperado? O fluido de ensaio do modelo é a água, à mesma temperatura da água e do protótipo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: qual vazão deve ser aplicada no ensaio do modelo e qual o aumento de pressão esperado no modelo.
As informações dadas são:
  • Vazão do protótipo: Q_{p}=1{,}5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Aumento de pressão no protótipo: \Delta p_{p}=400\\ \mathrm{kPa}.
  • Diâmetro do rotor do protótipo: D_{p}=0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do rotor do modelo: D_{m}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • O fluido de ensaio é água, à mesma temperatura do protótipo (mesma densidade e viscosidade).

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado não exige um método específico, vamos usar as leis de semelhança (affinity laws) para máquinas rotodinâmicas, que relacionam vazão, altura/pressão e potência com diâmetro e velocidade de rotação. Vou assumir que o ensaio do modelo é feito à mesma velocidade de rotação do protótipo (mesma rotação n), porque o enunciado não especifica outra condição e essa é a hipótese mais comum para aplicar diretamente as leis de afinidade. Se a rotação fosse diferente seria preciso incluir o fator de escala de n.

Passo 3

Apresentando as leis de afinidade e explicando cada variável: para rotores geometricamente semelhantes e mesmo fluido, as dependências são (onde n é a rotação em rpm ou s^{-1}, D é o diâmetro, Q é a vazão volumétrica, H é a altura hidráulica e \Delta p a pressão):
Q \propto n\,D^{3},
H \propto n^{2}\,D^{2}.
Explicação: Q (m³/s) é proporcional à velocidade linear (que cresce com nD) vezes um volume característico \sim D^{3}, daí o termo nD^{3}. A altura hidráulica H (m) está relacionada à energia por unidade de peso que envolve velocidades ao quadrado, daí n^{2}D^{2}. A pressão \Delta p está relacionada à altura por \Delta p=\rho g H, e como \rho e g são constantes e iguais no modelo e no protótipo, a pressão escala como H.

Passo 4

Escrevendo as razões entre modelo e protótipo para o caso n_{m}=n_{p} (mesma rotação): seja \lambda a razão linear
\lambda=\frac{D_{m}}{D_{p}}.
Então
\frac{Q_{m}}{Q_{p}}=\left(\frac{D_{m}}{D_{p}}\right)^{3}=\lambda^{3},
\frac{\Delta p_{m}}{\Delta p_{p}}=\frac{H_{m}}{H_{p}}=\left(\frac{D_{m}}{D_{p}}\right)^{2}=\lambda^{2}.
Aqui Q_{m} e \Delta p_{m} são as grandezas que queremos calcular para o modelo.

Passo 5

Calculemos a razão de escala \lambda:
\lambda=\frac{D_{m}}{D_{p}}=\frac{0{,}08}{0{,}40}=0{,}2.

Passo 6

Calcule a vazão do modelo usando \displaystyle Q_{m}=Q_{p}\,\lambda^{3}:
\lambda^{3}=(0{,}2)^{3}=0{,}008,
Q_{m}=1{,}5\cdot 0{,}008=0{,}012\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação rápida: o modelo tem volumes muito menores, por isso a vazão exigida no ensaio cai bastante.

Passo 7

Calcule o aumento de pressão no modelo usando \displaystyle \Delta p_{m}=\Delta p_{p}\,\lambda^{2}:
\lambda^{2}=(0{,}2)^{2}=0{,}04,
\Delta p_{m}=400\\ \mathrm{kPa}\cdot 0{,}04=16\\ \mathrm{kPa}.
Observação: calculei em kPa diretamente porque a razão é adimensional; se preferir em Pa: 400\\ \mathrm{kPa}=400000\\ \mathrm{Pa} e então \Delta p_{m}=400000\cdot 0{,}04=16000\\ \mathrm{Pa}=16\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

Q_{m}=0{,}012\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
\Delta p_{m}=16\\ \mathrm{kPa}

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