A vazão da água num vertedouro de uma barragem, que apresenta largura igual a 20 m , é igual a
. Um modelo escala 1:15 deve ser construído para estudar as características do escoamento no vertedoro. Determine a largura do modelo do vertedoro e também a vazão de água no modelo? Qual é o intervalo de tempo no modelo que corresponde a um período de 24 horas no protótipo? Despreze os efeitos da tensão superficial e da viscosidade.
Passo 1
Dados fornecidos:
- Largura do vertedouro no protótipo:
. - Vazão no protótipo:
. - Escala linear do modelo:
, ou seja . - Desprezam-se os efeitos da tensão superficial e da viscosidade.
O enunciado pede:
- Determinar a largura do vertedouro no modelo.
- Determinar a vazão de água no modelo.
- Determinar o intervalo de tempo no modelo que corresponde a um período de 24 horas no protótipo.
Passo 2
Qual princípio de semelhança usar? (explicação didática, sem jargões)
Quando os efeitos de viscosidade e tensão superficial são desprezíveis, o escoamento com superfície livre é dominado por forças gravitacionais e inerciais. Nesses casos a semelhança dinâmica mais apropriada é a semelhança de Froude. Vou explicar o que isso significa e como usar.
Quando os efeitos de viscosidade e tensão superficial são desprezíveis, o escoamento com superfície livre é dominado por forças gravitacionais e inerciais. Nesses casos a semelhança dinâmica mais apropriada é a semelhança de Froude. Vou explicar o que isso significa e como usar.
Definição do número de Froude (a ideia por trás):
-
é uma velocidade característica do escoamento (m/s). -
é a aceleração da gravidade (m/s²). -
é uma dimensão linear característica (m), por exemplo a largura ou a altura do escoamento.
A condição de semelhança de Froude exige que o número de Froude seja igual no modelo e no protótipo:
Isto nos dá uma relação entre velocidades nos dois sistemas, como eu mostro a seguir.
Passo 3
Relação de velocidades pela semelhança de Froude (derivação passo a passo):
Igualando os Froude,
Igualando os Froude,
As
cancelam, então
Ou seja, a escala de velocidades é
. Aqui
.
Passo 4
Cálculo da largura do modelo (escala geométrica simples)
Dimensões lineares escalam diretamente com . Assim a largura do modelo
é
Dimensões lineares escalam diretamente com
Substituindo:
Calculemos:
Passo 5
Como escala a vazão? (conceito e fórmula)
A vazão é , onde
é a área de seção transversal efetiva do escoamento. Para um modelo geométrico a área escala como
(porque área ~ comprimento × comprimento) e a velocidade escala como
. Logo o fator de escala para a vazão é
A vazão é
Portanto
Passo 6
Cálculo numérico de
e da vazão do modelo (conta passo a passo)
Temos . Então
Temos
Calculemos numericamente:
Logo
Agora a vazão do modelo:
Arredondando razoavelmente:
Passo 7
Escala de tempo (derivação e cálculo)
Uma escala de tempo característica é . Como
escala com
e
com
, o fator de escala temporal entre modelo e protótipo é
Uma escala de tempo característica é
Portanto o tempo no modelo é menor que no protótipo por um fator
.
Cálculo numérico:
Tempo correspondente no modelo para
horas no protótipo:
Convertemos para horas, minutos e segundos:
- Horas:
. - Minutos:
→ . - Segundos:
→ aproximadamente .
Assim o tempo no modelo é aproximadamente
.
Passo 8
Resumo final rápido e checagem de dimensão
- Largura escala linearmente:
— faz sentido físico. - Vazão muito menor no modelo porque volumes e velocidades diminuem:
. - Tempo no modelo é menor: um dia no protótipo corresponde a cerca de
horas no modelo.
Força um pouco menor? Não — os cálculos seguem diretamente a semelhança de Froude, que é a condição correta quando gravidade domina e viscosidade/tensão superficial são desprezadas.