A vazão da água num vertedouro de uma barragem, que apresenta largura igual a 20 m , é igual a 125 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Um modelo escala 1:15 deve ser construído para estudar as características do escoamento no vertedoro. Determine a largura do modelo do vertedoro e também a vazão de água no modelo? Qual é o intervalo de tempo no modelo que corresponde a um período de 24 horas no protótipo? Despreze os efeitos da tensão superficial e da viscosidade.

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Largura do vertedouro no protótipo: \,20\\ \mathrm{m}.
  • Vazão no protótipo: \,125\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Escala linear do modelo: 1:15, ou seja \lambda = \dfrac{L_{\text{modelo}}}{L_{\text{protótipo}}} = \dfrac{1}{15}ó.
  • Desprezam-se os efeitos da tensão superficial e da viscosidade.
O enunciado pede:
  1. Determinar a largura do vertedouro no modelo.
  2. Determinar a vazão de água no modelo.
  3. Determinar o intervalo de tempo no modelo que corresponde a um período de 24 horas no protótipo.

Passo 2

Qual princípio de semelhança usar? (explicação didática, sem jargões)
Quando os efeitos de viscosidade e tensão superficial são desprezíveis, o escoamento com superfície livre é dominado por forças gravitacionais e inerciais. Nesses casos a semelhança dinâmica mais apropriada é a semelhança de Froude. Vou explicar o que isso significa e como usar.
Definição do número de Froude (a ideia por trás):
Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}
  • V é uma velocidade característica do escoamento (m/s).
  • g é a aceleração da gravidade (m/s²).
  • L é uma dimensão linear característica (m), por exemplo a largura ou a altura do escoamento.
A condição de semelhança de Froude exige que o número de Froude seja igual no modelo e no protótipo:
Fr_{\text{modelo}} = Fr_{\text{protótipo}}.ó
Isto nos dá uma relação entre velocidades nos dois sistemas, como eu mostro a seguir.

Passo 3

Relação de velocidades pela semelhança de Froude (derivação passo a passo):
Igualando os Froude,
\frac{V_m}{\sqrt{gL_m}}=\frac{V_p}{\sqrt{gL_p}}.
As g cancelam, então
\frac{V_m}{V_p}=\sqrt{\frac{L_m}{L_p}}=\sqrt{\lambda}.
Ou seja, a escala de velocidades é \sqrt{\lambda}. Aqui \lambda=\dfrac{1}{15}.

Passo 4

Cálculo da largura do modelo (escala geométrica simples)
Dimensões lineares escalam diretamente com \lambda. Assim a largura do modelo \,B_m é
B_m=\lambda\,B_p.
Substituindo:
B_m=\frac{1}{15}\cdot 20\\ \mathrm{m}.
Calculemos:
B_m=\frac{20}{15}\\ \mathrm{m}=\frac{4}{3}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}333\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Como escala a vazão? (conceito e fórmula)
A vazão é Q=V\cdot A, onde A é a área de seção transversal efetiva do escoamento. Para um modelo geométrico a área escala como \lambda^{2} (porque área ~ comprimento × comprimento) e a velocidade escala como \sqrt{\lambda}. Logo o fator de escala para a vazão é
\frac{Q_m}{Q_p}=\lambda^{2}\cdot\sqrt{\lambda}=\lambda^{5/2}.
Portanto
Q_m = Q_p\\ \lambda^{5/2}.

Passo 6

Cálculo numérico de \lambda^{5/2} e da vazão do modelo (conta passo a passo)
Temos \lambda=\dfrac{1}{15}. Então
\lambda^{5/2}=\left(\frac{1}{15}\right)^{5/2}=\frac{1}{15^{5/2}}=\frac{1}{225\sqrt{15}}.
Calculemos numericamente:
15^{5/2}=225\sqrt{15}\approx 225\cdot 3{,}872983346\approx 871{,}4212529.
Logo
\lambda^{5/2}\approx \frac{1}{871{,}4212529}\approx 0{,}001147468.
Agora a vazão do modelo:
Q_m = 125\\ \mathrm{m^{3}/s}\times 0{,}001147468\approx 0{,}1434335\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando razoavelmente:
Q_m\approx 0{,}1434\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 7

Escala de tempo (derivação e cálculo)
Uma escala de tempo característica é T\sim \dfrac{L}{V}. Como L escala com \lambda e V com \sqrt{\lambda}, o fator de escala temporal entre modelo e protótipo é
\frac{T_m}{T_p}=\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda}}=\sqrt{\lambda}.
Portanto o tempo no modelo é menor que no protótipo por um fator \sqrt{\lambda}=\sqrt{\dfrac{1}{15}}=\dfrac{1}{\sqrt{15}}.
Cálculo numérico:
\sqrt{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{15}}\approx \frac{1}{3{,}872983346}\approx 0{,}2581988897.
Tempo correspondente no modelo para 24 horas no protótipo:
T_m = 24\\ \mathrm{h}\times 0{,}2581988897\approx 6{,}196773353\\ \mathrm{h}.
Convertemos para horas, minutos e segundos:
  • Horas: 6\\ \mathrm{h}.
  • Minutos: 0{,}196773353\\ \mathrm{h}\times 60\\ \mathrm{min/h}=11{,}80640118\\ \mathrm{min} 11\\ \mathrm{min}.
  • Segundos: 0{,}80640118\\ \mathrm{min}\times 60\\ \mathrm{s/min}=48{,}3840708\\ \mathrm{s} → aproximadamente 48{,}38\\ \mathrm{s}.
Assim o tempo no modelo é aproximadamente 6\\ \mathrm{h}\\\ 11\\ \mathrm{min}\\\ 48{,}4\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Resumo final rápido e checagem de dimensão
  • Largura escala linearmente: 20\\ \mathrm{m}\to 1{,}333\\ \mathrm{m} — faz sentido físico.
  • Vazão muito menor no modelo porque volumes e velocidades diminuem: 125\\ \mathrm{m^{3}/s}\to 0{,}1434\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Tempo no modelo é menor: um dia no protótipo corresponde a cerca de 6{,}1968 horas no modelo.
Força um pouco menor? Não — os cálculos seguem diretamente a semelhança de Froude, que é a condição correta quando gravidade domina e viscosidade/tensão superficial são desprezadas.

Resposta

\,B_{\text{modelo}}= \dfrac{20}{15}\\ \mathrm{m} = \dfrac{4}{3}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}333\\ \mathrm{m}
\,Q_{\text{modelo}}=125\left(\dfrac{1}{15}\right)^{5/2}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx 0{,}1434\\ \mathrm{m^{3}/s}
\,T_{\text{modelo}}=24\\ \mathrm{h}\times\sqrt{\dfrac{1}{15}}\approx 6\\ \mathrm{h}\\\ 11\\ \mathrm{min}\\\ 48{,}4\\ \mathrm{s}

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