A tensão superficial \sigma é função de velocidade v , da massa específica \rho e do comprimento L . Qual a função representativa do fenômeno e a equação da tensão superficial. Nota: \sigma= Força/Comprimento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever uma função representativa do fenômeno que relaciona a tensão superficial \sigma com as variáveis velocidade v, massa específica \rho e comprimento L; (2) obter a equação da tensão superficial usando a informação \sigma= Força/Comprimento.
Informações dadas e importantes (vou listar com cuidado):
  • A variável a ser determinada é \sigma (tensão superficial). O enunciado lembra que \sigma= Força/Comprimento.
  • As variáveis de que \sigma depende são v, \rho e L.
  • Vou precisar das dimensões físicas de cada quantidade para fazer análise dimensional. Não há outras variáveis mencionadas.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicando como funcionará): vou usar análise dimensional (teorema de Buckingham) para construir a forma funcional. A ideia é procurar uma combinação das variáveis v, \rho, L que tenha as mesmas dimensões de \sigma. Isso permite deduzir, até uma constante adimensional, a relação entre elas. Em palavras: suponho que
\sigma = C\,\rho^{a} v^{b} L^{c},
onde C é uma constante adimensional e a,b,c são expoentes reais que vamos determinar impondo igualdade de dimensões em ambos os lados. Explico em detalhe cada símbolo:
  • \sigma = tensão superficial (unidade: força por comprimento).
  • \rho = massa específica (densidade) — massa por volume.
  • v = velocidade.
  • L = comprimento (uma escala geométrica do problema).
  • C = constante adimensional (pode depender de números adimensionais não fornecidos, mas pela informação do enunciado assumimos apenas uma constante).

Passo 3

Determinar as dimensões de cada grandeza (isso é crucial para montar as equações):
  • Dimensões fundamentais: massa M, comprimento L, tempo T.
  • Força tem dimensão [F]=M L T^{-2}. Como \sigma= Força/Comprimento, então
[\sigma]=\frac{[F]}{[L]} = \frac{M L T^{-2}}{L} = M T^{-2}.
Logo, [\sigma]=M T^{-2}.
  • Para as demais:
[\rho] = \frac{\text{massa}}{\text{volume}} = M L^{-3},
[v] = L T^{-1},
[L] = L.

Passo 4

Escrever as dimensões do lado direito da suposição \sigma = C\,\rho^{a} v^{b} L^{c} e igualar expoentes.
As dimensões do lado direito são
[\rho^{a} v^{b} L^{c}] = (M L^{-3})^{a} \,(L T^{-1})^{b}\,(L)^{c}.
Multiplicando as potências das dimensões obtemos
= M^{a}\, L^{-3a+b+c}\, T^{-b}.
Devemos ter igualdade com [\sigma]=M^{1} L^{0} T^{-2}. Portanto os expoentes satisfazem o sistema
\begin{cases} \text{massa:} & a = 1,\\[4pt] \text{tempo:} & -b = -2,\\[4pt] \text{comprimento:} & -3a + b + c = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema de equações para a,b,c passo a passo:
  • Da equação da massa vem imediatamente
a = 1.
  • Da equação do tempo vem
-b = -2 \quad\Rightarrow\quad b = 2.
  • Substituindo a=1 e b=2 na equação do comprimento:
-3(1) + 2 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad -3 + 2 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 1.

Passo 6

Interpretar o resultado encontrado: os expoentes são a=1, b=2, c=1. Substituindo na suposição inicial obtemos a forma dimensionalmente correta
\sigma = C\,\rho^{1} v^{2} L^{1},
ou, de forma mais limpa,
\sigma = C\,\rho\,v^{2}\,L.
Isso significa que, com as variáveis fornecidas, a tensão superficial deve ser proporcional a \rho v^{2} L, multiplicada por uma constante adimensional C. Pelo teorema de Buckingham também poderíamos escrever a única função adimensional independente como
\Pi = \frac{\sigma}{\rho v^{2} L},
de modo que \Pi = C (constante adimensional).

Passo 7

Comentários práticos e intuição (para te deixar mais confiante na prova):
  • Dimensionalmente, \rho v^{2} tem a mesma dimensão de pressão/energia por volume (por exemplo, a pressão dinâmica na mecânica de fluidos é proporcional a \rho v^{2}). Multiplicar por L transforma essa pressão num termo com dimensão de \sigma (já que pressão \times comprimento dá força/comprimento em termos dimensionais). Isso ajuda a memorizar a combinação.
  • A constante C é adimensional e só pode ser fixada por experiência, por condições de contorno ou por um modelo físico mais detalhado. Em muitos fenômenos reais a tensão superficial não depende de v da forma simples acima; aqui estamos apenas usando os dados do enunciado e análise dimensional para obter a possível forma funcional.
  • Exemplo simples fora da prova: se você tiver pressão p que depende de \rho e v apenas, a análise dimensional dá p\sim \rho v^{2} (a famosa dependência da pressão dinâmica).

Resposta

\displaystyle \sigma = C\,\rho\,v^{2}\,L

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