\underline{\text { Sem utilizar o Maple, corrija a resolução do aluno e determine corretamente o valor de } \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \text {. }}
Passo 1
O enunciado (pelas linhas do aluno) nos dá a função
f(x)=\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)
e pede o valor de
\lim_{x\to-\infty} f(x).
O aluno escreveu que \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0 e daí concluiu \lim_{x\to-\infty}\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)=\ln(1)=0. Nosso objetivo é corrigir a justificativa (se houver erro) e determinar corretamente o limite.
Passo 2
Primeiro precisamos checar o domínio de f para saber se \ln está sendo aplicado a argumentos válidos quando x\to-\infty. A função \ln(t) está definida só para t>0. Então exigimos
Os pontos críticos são x=0 e x=1. Fazendo um quadro de sinais (ou analisando intervalos) obtemos que \frac{x-1}{x}>0 para
x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty).
Portanto o domínio de f é (-\infty,0)\cup(1,\infty). Em particular, quando x\to-\infty estamos sempre em x<0, ou seja, o argumento de \ln é positivo para x suficientemente negativo. Logo não há problema de domínio ao calcular o limite para x\to-\infty.
Passo 3
Agora calculemos a parte interior:
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.
Explicação didática: quando x fica cada vez mais negativo em módulo, o número \frac{1}{x} tende a zero e é negativo (por exemplo, \frac{1}{-1000}=-0{,}001). Formalmente, dado \varepsilon>0 escolhemos M=\frac{1}{\varepsilon}; se x< -M então \left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon. Portanto \frac{1}{x}\to0 quando x\to-\infty. Observe também que a convergência é pelo lado negativo: \frac{1}{x}\to0^-.
Passo 4
Usamos agora propriedades de limites e continuidade das operações elementares. A subtração é contínua, então
Devemos só checar que, para x suficientemente negativo, o valor 1-\frac{1}{x} permanece em um intervalo onde \ln é contínua. Como já notamos, para x<0 temos \frac{1}{x}<0, então
1-\frac{1}{x}=1+|\tfrac{1}{x}|>1,
ou seja, para todo x<0 o argumento de \ln é maior que 1 e portanto positivo. A função \ln(t) é contínua em t=1 (é contínua em todo t>0), então podemos passar o limite para dentro do \ln:
Comentário extra (útil na prova): outra maneira de ver a mesma coisa é usar a expansão para pequenos argumentos: quando |y| é pequeno temos \ln(1+y)=y+o(y). Aqui y=-\tfrac{1}{x} e y\to0 quando x\to-\infty, então \ln(1-\tfrac{1}{x})\approx -\tfrac{1}{x}\to0. Essa visão mostra também a velocidade de convergência (vai como 1/x).